50 个具有挑战性的概率问题 [01/50]：袜子抽屉

一、说明

二、案例说明

        抽屉里有红色袜子和黑色袜子。当随机抽取两只袜子时，两只袜子都是红色的概率是 1/2。

        问题：
        （甲）抽屉里的袜子数量可以有多少？
        （乙）如果黑袜子的数目相等，会有多小？

三、问题1的解决方案 

3.1 问题分析

        （甲）抽屉里的袜子可以多小？
        首先，我们知道随机抽取 2 只袜子，两只袜子都是红色的概率是 1/2。这个陈述可以在数学上表示为两个概率的乘积：第一次抽奖时抽到红袜子的概率乘以第二次抽奖时抽到红袜子的概率。

        设袜子总数为，红色袜子总数为 r。那么在第一次抽奖时抽到红袜子的概率是 r/n。由于已经抽到了红袜子并且没有进行替换，因此在第二次抽签中抽到红袜子的概率为 （r-1）/（n-1）。

        这可以使用数学进一步解决，但在面试环境中，应用一些逻辑推理可能是面试所寻找的，特别是因为问题只要求找到最小的数字。甚至在使用上面的等式解决这个问题之前，我们就应该知道袜子的总数不能是 1，因为画了两只袜子，也不能是 2，因为两只袜子都是红色的概率既不是 0 也不是 1。因此，我们可以从 3 开始测试 n 的值。

因此，袜子的最小数量为 4 只。

3.2 Python 代码 

n = 3   # total number of socks (at least 3)
r = 2   # min number of red socks (at least 2)
p = 0   # initialize probability of drawing 2 red socks (without replacement)while True:for r in range(2,r+1):p = (r/n)*((r-1)/(n-1))if p == 0.5:breakif p == 0.5:print(f'n = {n}, r = {r}')breakn += 1r += 1# Output:
# n = 4, r = 3 (total socks: 4, total red socks: 3)

四、问题2的解决方案

4.1 问题分析

（乙）如果黑袜子的数目相等，会有多小？
        在前面的答案中，黑色袜子的数量是 4 - 3 = 1（奇数）。对于这个问题，我们需要稍微转换等式。

        由此，我们可以得到 2 个不等式：

        我们可以将 n 表示为 b+r，其中 b 是黑色袜子的数量，我们得到：

        如果您有兴趣，以下是详细的数学计算：

·然后我们可以开始测试偶数 b 的值。

因此，如果黑色袜子的数量是偶数，则袜子的最小数量是 15+6=21。

4.2 Python 代码 

n = 3   # total number of socks (at least 3)
r = 2   # min number of red socks (at least 2)
p = 0   # initialize probability of drawing 2 red socks (without replacement)while True:for r in range(2,r+1):if (n-r)%2 == 0:p = (r/n)*((r-1)/(n-1))if p == 0.5:breakif p == 0.5:print(f'n = {n}, r = {r}')breakn += 1r += 1# Output:
# n = 21, r = 15 (total socks: 21, total red socks: 15)

        这就是这个袜子🧦问题的全部内容。欢迎任何反馈或问题！该代码可在我的 Github 上找到。请继续关注本系列的下一部分！:)