第二章 命题逻辑等值演算

本文主要是介绍第二章 命题逻辑等值演算，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

目录

基本等值式

例1

(1)真值表法

(2)等值演算

基本概念

注意：

注意：

 例2 求下列公式的析取范式与合取范式

注意：

由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项                        极小项                        极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称¬p∧¬q0 0m0p∨q0 0M0¬p∧q0 1m1p∨¬q0 1M1p∧¬q1 0m2¬p∨q1 0M2p∧q1 1 m3¬p∨¬q1 1M3

例如

求公式主析取范式的步骤:

求公式主合取范式的步骤:

例6 (1) 求公式 A=(p→¬q)→r的主析取范式和主合取范式

判断公式的类型

例7 用主析取范式判断公式的类型:

定义 2.1 若等价式 A ↔ B 是重言式，则称 A 与 B 等值 ，记作 A ⇔ B ，并称 A ⇔ B 是 等值式

基本等值式

双重否定律

            ¬¬A ⇔ A

幂等律

            A∨ A ⇔ A

            A∧A ⇔ A

交换律  

            A∨ B ⇔ B ∨ A

            A∧B ⇔ B ∧ A

结合律

            (A∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨C)               

            (A∧B)∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C )

分配律

            A∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨C)                

            A∧(B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )

德摩根律

            ¬( A ∨ B ) ⇔¬ A∧¬B                

            ¬(A ∧ B ) ⇔¬ A ∨¬ B

吸收律

            A∨ ( A ∧ B ) ⇔ A

            A∧ ( A ∨ B ) ⇔ A

零律

            A∨ 1 ⇔ 1

            A∧ 0 ⇔ 0

同一律

            A∨ 0 ⇔ A

            A∧ 1 ⇔ A

排中律

            A∨¬ A ⇔ 1

矛盾律

            A∧¬ A ⇔ 0

蕴涵等值式

            A→ B ⇔¬ A ∨ B

等价等值式

            A↔ B ⇔ ( A → B ) ∧ ( B → A )

假言易位

            A→ B ⇔¬ B →¬ A

等价否定等值式

            A↔ B ⇔¬ A ↔¬ B

归谬论

            (A → B ) ∧ ( A →¬ B ) ⇔¬ A

特别提示：必须牢记这 16 组等值式，这是继续学习的基础

可以理解性记忆

例如对归谬论的记忆

我们已知要使蕴含式为真，则前件A不能为真，后件B不能为假，而归谬论中， ¬B，B都存在，所以一定有假，要使整个式子为真，则A不能为真所以可以推出¬ A为真

这仅仅是我的理解

例1

 证明两个公式等值

p → ( q → r ) 与 ( p ∧ q ) → r

(1)真值表法

p        q        r	q→r	p→(q→r)	p∧q	(p∧q)→r
0        0        0	1	1	0	1
0        0        1	1	1	0	1
0        1        0	0	1	0	1
0        1        1	1	1	0	1
1        0        0	1	1	0	1
1        0        1	1	1	0	1
1        1        0	0	0	1	0
1        1        1	1	1	1	1

结论: p → ( q → r ) ⇔ ( p ∧ q ) → r

(2)等值演算

p → ( q → r )

⇔ ¬ p ∨ ( ¬ q ∨ r ) （蕴涵等值式，置换规则）

⇔ ( ¬ p ∨¬ q ) ∨ r （结合律，置换规则）

⇔ ¬ ( p ∧ q ) ∨ r

（德摩根律，置换规则）

⇔ ( p ∧ q ) → r

（蕴涵等值式，置换规则）

注明可省去置换规则

注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值

基本概念

(1) 文字 —— 命题变项及其否定的总称

(2) 简单析取式 —— 有限个文字构成的析取式

p , ¬ q , p ∨¬ q , p ∨ q ∨ r , …

(3) 简单合取式 —— 有限个文字构成的合取式

p , ¬ q , p ∧¬ q , p ∧ q ∧ r , …

(4) 析取范式 —— 由有限个简单合取式组成的析取式

p , ¬ p ∧ q, p ∨¬ q , ( p ∧¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ∧¬ r ) ∨ ( q ∧ r )

(5) 合取范式 —— 由有限个简单析取式组成的合取式

p , p ∨¬ q , ¬ p ∧ q, ( p ∨ q ∧¬ p ∧ ( p ∨ ¬ q ∨ ¬ r )

(6) 范式 —— 析取范式与合取范式的总称

注意：

单个文字既是简单析取式，又是简单合取式

形如 p∧¬q∧r, ¬p∨q∨¬r 的公式既是析取范式，又是合取范式

析取式中间用∨连接

合取式中间用∧连接

定理 2.1

(1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式

(2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题 变项和它的否定式

定理 2.2

(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合 取式都是矛盾式

(2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都 是重言式

定理2.1相当于存在

同时存在A和¬A命题

定理2.2相当于

对于析取式来说∨全是0才为0

对于合取式来说∧全是1才为1

定理 2.3 （范式存在定理）

任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式

公式 A 的析取 ( 合取 ) 范式—— 与 A 等值的析取 ( 合取 ) 范式

求公式 A 的范式的步骤：

(1) 消去 A 中的 → , ↔ （若存在）

A → B ⇔¬ A ∨ B

A ↔ B ⇔ ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( A ∨¬ B )

(2) 否定联结词 ¬ 的内移或消去

¬ ¬ A ⇔ A

¬ ( A ∨ B ) ⇔¬ A ∧¬ B

¬ ( A ∧ B ) ⇔¬ A ∨¬ B

(3) 使用分配律

A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C )

求合取范式

A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )

求析取范式

注意：

公式范式不唯一

 例2 求下列公式的析取范式与合取范式

(1) ( p →¬ q ) ∨¬ r

⇔ ( ¬ p ∨¬ q ) ∨¬ r （消去 → ）

⇔ ¬ p ∨¬ q ∨¬ r （结合律）

最后结果既是析取范式 ( 由 3 个简单合取式组成的析取式 ) ，又 是合取范式 ( 由一个简单析取式组成的合取式 )

(2) ( p →¬ q ) → r

⇔ ( ¬ p ∨¬ q ) → r （消去第一个 → ）

⇔ ¬ ( ¬ p ∨¬ q ) ∨ r （消去第二个 → ）

⇔ ( p ∧ q ) ∨ r （否定号内移 —— 德摩根律 ) 析取范式

⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) （ ∨ 对 ∧ 分配律） 合取范式

 定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现 一次，而且第i个文字出现在左起第i位上（1≤i≤n），称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.

注意：

(1)n个命题变项有个极小项和个极大项

(2)个极小项（极大项）均互不等值

(3)用 m i 表示第 i 个极小项，其中 i 是该极小项成真赋值的十进

制表示 . 用 M i 表示第 i 个极大项，其中 i 是该极大项成假赋值

的十进制表示 . m i （ M i ）称为极小项（极大项）的名称

由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项

极小项

极大项

公式	成真赋值	名称	公式	成假赋值	名称
¬ p ∧¬ q	0 0	m0	p∨q	0 0	M0
¬ p ∧ q	0 1	m1	p∨¬q	0 1	M1
p ∧¬ q	1 0	m2	¬p∨q	1 0	M2
p ∧ q	1 1	m3	¬p∨¬q	1 1	M3

m i 与 M i 的关系： ¬ m i ⇔ M i , ¬ M i ⇔ m i

主析取范式——由极小项构成的析取范式

主合取范式——由极大项构成的合取范式

例如

n =3, 命题变项为 p , q , r 时，

( ¬ p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( ¬ p ∧ q ∧ r ) ⇔ m 1 ∨ m 3 —— 主析取范式

( p ∨ q ∨¬ r ) ∧ ( ¬ p ∨¬ q ∨¬ r ) ⇔ M 1 ∨ M 7 —— 主合取范式

这只是其中一个例子

定理 2.5 ( 主范式的存在唯一定理 )

任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式 , 并且是唯一的

求公式主析取范式的步骤:

设公式 A 含命题变项 p 1 , p 2 ,…, p n

(1) 求 A 的析取范式 A ′ =B 1 ∨ B 2 ∨ … ∨ B s , 其中 B j 是简单合取 式 j =1,2, … , s

(2) 若某个 B j 既不含 p i , 又不含 ¬ p i , 则将 B j 展开成 B j ⇔ B j ∧ ( p i ∨¬ p i ) ⇔ ( B j ∧ p i ) ∨ ( B j ∧¬ p i ) 重复这个过程 , 直到所有简单合取式都是长度为 n 的极 小项为止

(3) 消去重复出现的极小项 , 即用 m i 代替 m i ∨ m i

(4) 将极小项按下标从小到大排列

求公式主合取范式的步骤:

(1) 求 A 的合取范式 A ′ = B 1 ∧ B 2 ∧ … ∧ B s , 其中 B j 是简单析取 式 j =1,2, … , s

(2) 若某个 B j 既不含 p i , 又不含 ¬ p i , 则将 B j 展开成 B j ⇔ B j ∨ ( p i ∧¬ p i ) ⇔ ( B j ∨ p i ) ∧ ( B j ∨¬ p i ) 重复这个过程 , 直到所有简单析取式都是长度为 n 的极 大项为止

(3) 消去重复出现的极大项 , 即用 M i 代替 M i ∧ M i

(4) 将极大项按下标从小到大排列

例6 (1) 求公式 A=(p→¬q)→r的主析取范式和主合取范式

解  ：

( p →¬ q ) → r

⇔ ( p ∧ q ) ∨ r （析取范式） ①

对于p ∧ q，缺少r

⇔ ( p ∧ q ) ∧ ( ¬ r ∨ r )

⇔ ( p ∧ q ∧¬ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )

⇔ m 6 ∨ m 7 ②

对于r，缺少p和q

⇔ ( ¬ p ∨ p ) ∧ ( ¬ q ∨ q ) ∧ r

⇔ ( ¬ p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( ¬ p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )

⇔ m 1 ∨ m 3 ∨ m 5 ∨ m 7 ③

② , ③代入①并排序，将m合并得

( p →¬ q ) → r ⇔ m 1 ∨ m 3 ∨ m 5 ∨ m 6 ∨ m 7 （主析取范式）

(p→¬q)→r

⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) （合取范式） ④

对于p ∨ r，缺少q

⇔ p ∨ ( q ∧¬ q ) ∨ r

⇔ ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( p ∨¬ q ∨ r )

⇔ M 0 ∧ M 2 ⑤

对于q ∨ r，缺少p

⇔ ( p ∧¬ p ) ∨ q ∨ r

⇔ ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬ p ∨ q ∨ r )

⇔ M 0 ∧ M 4 ⑥

⑤ , ⑥代入④ 并排序，将m合并得

( p →¬ q ) → r ⇔ M 0 ∧ M 2 ∧ M 4 （主合取范式 ）

判断公式的类型

设 A 含 n 个命题变项

A 为重言式 ⇔ A 的主析取范式含全部 2 n 个极小项

                  ⇔ A的主合取范式不含任何极大项 , 记为 1

A 为矛盾式 ⇔ A 的主合析取范式含全部 2 n 个极大项

                  ⇔ A 的主析取范式不含任何极小项 , 记为 0

A 为非重言式的可满足式

                  ⇔ A 的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项

                  ⇔ A 的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项

例7 用主析取范式判断公式的类型:

(1) A ⇔ ¬ ( p → q ) ∧ q

(2) B ⇔ p → ( p ∨ q )

(3) C ⇔ ( p ∨ q ) → r

解：

(1) A ⇔ ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∧ q ⇔ ( p ∧¬ q ) ∧ q ⇔ 0

        矛盾式

(2) B ⇔ ¬ p ∨ ( p ∨ q ) ⇔ 1 ⇔ m 0 ∨ m 1 ∨ m 2 ∨ m 3

        重言式

(3) C ⇔ ¬ ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ ( ¬ p ∧¬ q ) ∨ r

⇔ ( ¬ p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( ¬ p ∧¬ q ∧¬ r ) ∨ ( ¬ p ∧¬ q ∧ r )

∨ ( ¬ p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧¬ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r )

⇔ m 0 ∨ m 1 ∨ m 3 ∨ m 5 ∨ m 7

非重言式的可满足式

这篇关于第二章 命题逻辑等值演算的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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