883. Projection Area of 3D Shapes

883. 三维形体投影面积

在 N * N 的网格中，我们放置了一些与 x，y，z 三轴对齐的 1 * 1 * 1 立方体。

每个值 v = grid[i][j] 表示 v 个正方体叠放在单元格 (i, j) 上。

现在，我们查看这些立方体在 xy、yz 和 zx 平面上的投影。

投影就像影子，将三维形体映射到一个二维平面上。

在这里，从顶部、前面和侧面看立方体时，我们会看到“影子”。

返回所有三个投影的总面积。

 

示例 1：

输入：[[2]]
输出：5

示例 2：

输入：[[1,2],[3,4]]
输出：17
解释：
这里有该形体在三个轴对齐平面上的三个投影(“阴影部分”)。

示例 3：

输入：[[1,0],[0,2]]
输出：8

示例 4：

输入：[[1,1,1],[1,0,1],[1,1,1]]
输出：14

示例 5：

输入：[[2,2,2],[2,1,2],[2,2,2]]
输出：21

 

提示：

• 1 <= grid.length = grid[0].length <= 50
• 0 <= grid[i][j] <= 50

解法一

//时间复杂度O(n*n), 空间复杂度O(n)
class Solution {
public:int projectionArea(vector<vector<int>>& grid) {int n = grid.size(), area = 0;vector<int> rowMax(n, 0), colMax(n, 0);for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {rowMax[i] = max(rowMax[i], grid[i][j]);colMax[j] = max(colMax[j], grid[i][j]);if(grid[i][j]) area++;}}for(int i = 0; i < n; i++) {area += (rowMax[i] + colMax[i]);}return area;}
};

解法二

class Solution {
public:int projectionArea(vector<vector<int>>& grid) {int n = grid.size(), area = 0;for(int i = 0; i < n; i++) {int rowMax = 0, colMax = 0;for(int j = 0; j < n; j++) {rowMax = max(rowMax, grid[i][j]);colMax = max(colMax, grid[j][i]);if(grid[i][j]) area++;}area += rowMax + colMax;}return area;}
};

隐含的条件： 三个方向的投影，其中xy面上投影面积是矩阵中非零元素的个数，xz和yz面上的投影面积是每一行（列）最大元素之和。

这样思路就明白了，只需要遍历矩阵，找出

1. 每一行的最大元素；
2. 每一列的最大元素；
3. 非零元素的个数。

对这三者求和就是答案。

最低效的方法是对这三个条件遍历三次。

解法一：使用了两个额外的数组，同时记录了这三个值，最后对数组求和处理，返回结果。用时12ms。

解法二：不使用额外的空间，而是在循环体内同时进行按行遍历和按列遍历，行、列最大值保存在变量中，最后返回三者之和。用时16ms。

解法一和二各有优劣。

1. 从空间上看，解法二的优点是它是O(1)的空间需求，而解法二需要O(n)的空间。
2. 从时间上看，表面上看解法二没有额外的对数组的求和处理，好像解法二更加高效，但是由于解法二按列遍历，违反了空间局部性原则，导致其效率略低。这是它耗时16ms的原因之一。

提高效率的一些技巧：

1. 空间局部性原则：遍历二维数组时，最好按行优先的顺序进行访问（因为行中的元素在内存中是顺序排列的）；
2. 循环展开：通过增加每次迭带计算的元素的数量，减少迭代次数。例如对一维数组从1到n求和，常规做法是在循环体内对变量sum += a[i]；而利用循环展开的做法是，使用两个变量sum1 = a[i], sum2 = a[i + 1]，i可以一次加2，最后对sum1和sum2求和。
3. 尽量减少内存引用。
4. 避免不必要的重复计算：这个例子很常见，对于如下代码，后者会更高效一些。

    //形式1：for(int i = 0; i < vec.size(); i++) {...}//形式2：更好的改进int len = vec.size();for(int i = 0; i < len; i++) {...}

这部分知识要以参考《深入理解计算机系统》（CSAPP）的第5章和第6章。