泊松分布的学习

在博客上看到一篇很好得文章：泊松分布到底是怎么回事呢？对泊松公式的看法 ，正确理解泊松分布

虽然那个时候大家都会背“当试验的次数趋于无穷大，而乘积 np 固定时，二项分布收敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正的理解还有很大距离。

如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如

“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。

如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在 1876 年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在 1876 年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？”

泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们去每天食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有 1000 个学生，而食堂恰好配了 1000 个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。

在一段时间 t（比如 1 个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是 200 人），而应该符合某种随机规律：比如在 1 个小时内来 200 个学生的概率是 10%，来 180 个学生的概率是 20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。

也就是在单位时间内有 k 个学生到达的概率为：

其中 为单位时间内学生的期望到达数。

问题是“这个式子是怎么来的呢？”

——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。

二项分布很容易理解，比如一个牛仔一枪打中靶子的概率是 p，如果我们让他开 10 枪，如果每击中一次目标就得 1 分，问他一共能得几分？虽然我们不能在牛仔射击前准确地预测出具体的得分 k，但可以求出 k 的概率分布，比如 k = 9 的概率是 50%，k = 8 分的概率是 30%……并且根据 k 的分布来判断他的枪法如何，这便是概率统计的思想。

具体计算的方法就是求出“得 k 分”的概率。比如“得 9 分”可以是“射失第 1 发，而命中其余的 9 发”，它的概率是 p 的 9 次方乘上 1 - p。