【级数】【马尔科夫链】n乘以x的n次方的和函数

本文主要是介绍【级数】【马尔科夫链】n乘以x的n次方的和函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

《通信网络基础》马尔可夫链中期望的计算
本文解决二如下公式的计算问题
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n(1-\rho )=?$$

系统稳态的概率
$$p_n={\rho }^n{p}_0$$
并且
$$p_0=1-\rho$$
则
$$p_n={\rho }^n(1-\rho )$$

下面求系统内的平均用户数为N
$$N=\sum _{n=0}^{\infty }n{p}_n=\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n(1-\rho )=\frac{\rho }{1-\rho }$$

存在问题的是哪一步呢？
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=?$$
我们将其展开
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=\rho +2{\rho }^2+3{\rho }^3+...+(n-1){\rho }^{n-1}+n{\rho }^n+...$$

其实，这是高中所学求和公式的一种。
哪一种？
$$等差数列\ast 等比数列$$
等差数列*等比数列求和的解决方法是什么呢？
错位相减法

令
$$S=\rho +2{\rho }^2+3{\rho }^3+...+(n-1){\rho }^{n-1}+n{\rho }^n(1)$$

两边同乘公比$\rho$,有：
$$\rho S=0+{\rho }^2+2{\rho }^3+...+(n-2){\rho }^{n-1}+(n-1){\rho }^n+n{\rho }^{n+1}(2)$$
(1)式-(2)式有

$$(1-\rho )S=\rho +{\rho }^2+{\rho }^3+...+{\rho }^{n-1}+{\rho }^n-n{\rho }^{n+1}=\frac{\rho }{1-\rho }-n{\rho }^{n+1}$$
则
$$S=\frac{\rho }{{(1-\rho )}^2}-\frac{n{\rho }^{n+1}}{1-\rho }$$
当$n\to +\infty$时,由于$\rho <1,$
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n{\rho }^{n+1}}{1-\rho }=0$$
这是因为指数函数 ${\rho }^{x+1}(\rho <1)$ 的变化速度比线性函数 $x$ 的变化速度快得多

因此
$$S=\frac{\rho }{{(1-\rho )}^2},n\to +\infty$$
即：
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=\frac{\rho }{{(1-\rho )}^2}$$

所以有
$$N=\sum _{n=0}^{\infty }n{p}_n=\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n(1-\rho )=\frac{\rho }{1-\rho }$$

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