多重背包2[二进制位优化]

2023-12-07 13:08

本文主要是介绍多重背包2[二进制位优化],希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

数据范围加强一下

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

这时候 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)的算法不行,需要优化成 O ( N ∗ l o g s ∗ V ) O(N*logs *V) O(NlogsV)
思想
多重背包拆成01背包,并且使用二进制优化。
多重背包是每个物品可以选 s i s_i si次,把多重背包问题拆成 Σ s i \Sigma{s_i} Σsi 个01背包问题,拆成 Σ s i \Sigma{s_i} Σsi 个实际上复杂度并没有优化。在拆的时候有技巧,不能拆成很多1的组合,我们想最少拆成多少份,拆成 n u m = ⌈ l o g 2 Σ s i ⌉ num=\lceil log_2\Sigma{s_i} \rceil num=log2Σsi份(上取整)。

比如 第i件物品有13件,拆成 ⌈ l o g 2 13 ⌉ = 4 \lceil log_213\rceil=4 log213=4份,分别是1,2,4,6
其中6的来源是13-(1+2+4)=6,即尽可能拆分成2的倍数,其余为作差取得

对于拆出来的num个01背包问题,其中物品体积和价值需要乘以拆出来的系数。

这里的拆分我们使用vector进行维护,拆好一个加入动态数组一个。

多重背包拆分成为01背包的代码

for(int i=0;i<n;i++){//n表示多重背包的个数cin>>v>>w>>s;for(int k=1;k<=s;k*=2){//拆分成01背包 ,二进制优化s-=k;goods.push_back({k*v,k*w});//物品的体积和价值相应的扩大k倍}if(s>0){goods.push_back({s*v,s*w});}}

ac代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=2010;
int n,m,v,w,s; 
int f[maxn];struct Goods{int v,w;
};
int main(){vector<Goods> goods;cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){cin>>v>>w>>s;for(int k=1;k<=s;k*=2){//拆分成01背包 s-=k;goods.push_back({k*v,k*w});}if(s>0){goods.push_back({s*v,s*w});}}memset(f,0,sizeof(f));for(int i=0;i<goods.size();i++){for(int j=m;j>=goods[i].v;j--){f[j]=max(f[j],f[j-goods[i].v]+goods[i].w);}}cout<<f[m]<<endl;goods.clear();return 0;
}

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http://www.chinasem.cn/article/465991

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