1025 - K短路（A*算法） - 魔法猪学院（SDOI 2010）

魔法猪学院(magic)

描述

iPig在假期来到了传说中的魔法猪学院，开始为期两个月的魔法猪训练。经过了一周理论知识和一周基本魔法的学习之后，iPig对猪世界的世界本原有了很多的了解：众所周知，世界是由元素构成的；元素与元素之间可以互相转换；能量守恒……。
能量守恒……iPig 今天就在进行一个麻烦的测验。iPig 在之前的学习中已经知道了很多种元素，并学会了可以转化这些元素的魔法，每种魔法需要消耗 iPig 一定的能量。作为 PKU 的顶尖学猪，让 iPig 用最少的能量完成从一种元素转换到另一种元素……等等，iPig 的魔法导猪可没这么笨！这一次，他给 iPig 带来了很多 1 号元素的样本，要求 iPig 使用学习过的魔法将它们一个个转化为 N 号元素，为了增加难度，要求每份样本的转换过程都不相同。这个看似困难的任务实际上对 iPig 并没有挑战性，因为，他有坚实的后盾……现在的你呀！
注意，两个元素之间的转化可能有多种魔法，转化是单向的。转化的过程中，可以转化到一个元素（包括开始元素）多次，但是一但转化到目标元素，则一份样本的转化过程结束。iPig 的总能量是有限的，所以最多能够转换的样本数一定是一个有限数。具体请参看样例。

输入

第一行三个数 N、M、E 表示iPig知道的元素个数（元素从 1 到 N 编号）、iPig已经学会的魔法个数和iPig的总能量。
后跟 M 行每行三个数 si、ti、ei 表示 iPig 知道一种魔法，消耗 ei 的能量将元素 si 变换到元素 ti

输出

一行一个数，表示最多可以完成的方式数。输入数据保证至少可以完成一种方式。

样例输入

4 6 14.9
1 2 1.5
2 1 1.5
1 3 3
2 3 1.5
3 4 1.5
1 4 1.5

样例输出

3

样例解释

有意义的转换方式共4种：
1->4，消耗能量 1.5
1->2->1->4，消耗能量 4.5
1->3->4，消耗能量 4.5
1->2->3->4，消耗能量 4.5
显然最多只能完成其中的3种转换方式（选第一种方式，后三种方式仍选两个），即最多可以转换3份样本。
如果将 E=14.9 改为 E=15，则可以完成以上全部方式，答案变为 4。

数据规模

占总分不小于 10% 的数据满足 N <= 6，M<=15。
占总分不小于 20% 的数据满足 N <= 100，M<=300，E<=100且E和所有的ei均为整数（可以直接作为整型数字读入）。
所有数据满足 2 <= N <= 5000，1 <= M <= 200000，1<=E<=107，1<=ei<=E，E和所有的ei为实数。

分析

第一次接触 A^* 算法，感觉这玩意儿好妙好妙
其实也不是什么特别难懂的知识，就是类似贪心的Bfs
一般的深搜，就是乱搞，就很容易各种超时
而 A^* 是怎么优化的呢？

一般的 BFS扩展最小耗费的点。A^*算法在另一方面，扩展最有希望的点（估价函数返回值最优）。 状态被保存在一个优先队列中，按照Cost价值排列。每一次，程序处理最低优先的点，且把它的孩子按照适当顺序处理。
对于一个可容许的估价函数，第一个找到的状态保证是最优的。

说的再简单一点，就是相当于给我们的 Bfs 一个导向，指引着他往我们需要的最优解前进，中途会少很多不必要的深搜，这复杂度就直线下降

那么具体的什么是估价函数呢？
就是以任意状态为输入，计算出从该状态到目标状态所需代价的估计值，这个函数的设计必须要满足的一个条件就是估价函数的估值不能大于未来的实际代价

对于这道题

这个f[]就是估价函数，而dis+len(x,y)就是真实值

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define N 5009
#define M 400009
#define in read()
using namespace std;
inline int read(){char ch;int f=1,res=0;while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') f=-1;while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return f==1?res:-res;
}
int n,m,S,T,ans;
double tot,dis[N];
struct node{int u;double cost;};
bool operator <(const node &a,const node &b){return dis[a.u]+a.cost>dis[b.u]+b.cost;
}
int nxt[M],to[M],head[N],cnt=0;
double w[M];
void add(int x,int y,double z){nxt[++cnt]=head[x];head[x]=cnt;to[cnt]=y;w[cnt]=z;
}
int Nxt[M],To[M],Head[N],Cnt=0;
double W[M];
void conadd(int x,int y,double z){Nxt[++Cnt]=Head[x];Head[x]=Cnt;To[Cnt]=y;W[Cnt]=z;
}
bool vis[N];
void spfa(){memset(dis,127,sizeof(dis));queue<int > q;q.push(S);dis[S]=0;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;for(int e=Head[u];e;e=Nxt[e]){int v=To[e];if(dis[v]>dis[u]+W[e]){dis[v]=dis[u]+W[e];if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=1;}}}
}
priority_queue<node> que;
void Astar(){que.push((node){S,0});while(!que.empty()){node now=que.top();que.pop();if(now.u==T){tot-=now.cost;if(tot<0) return;ans++;continue;}for(int e=head[now.u];e;e=nxt[e]){int v=to[e];que.push((node){v,now.cost+w[e]});}}
}
int main(){n=in;m=in;scanf("%lf",&tot);int u,v,i,j,k;double len;for(i=1;i<=m;++i){u=in;v=in;scanf("%lf",&len);conadd(v,u,len);add(u,v,len);}S=n;T=1;spfa();//处理出估价函数disans=0; S=1;T=n;Astar();cout<<ans;return 0;
}