本文主要是介绍学习笔记（5）：《微电子器件》陈星弼（第四版）第2章 PN结，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
学习笔记（5）：《微电子器件》陈星弼（第四版）第2章 PN结
- 2.2 PN结的直流电压方程
- 2.2.1 外加电压时载流子的运动情况
- 1.外加正向电压时载流子的运动情况
- 2.外加反向电压时载流子的运动情况
- 2.2.1 势垒区两旁载流子浓度的玻尔兹曼分布
- 2.2.3 扩散电流
- 1.少子浓度的边界条件
- 2.中性区内的少子浓度分布
- 3. 扩散电流
- 4.反向饱和电流
- 2.2.4 势垒区产生复合电流
- 1.势垒区的净复合率
- 2.势垒区产生复合电流
- 3.扩散电流与势垒区产生复合电流的比较
- 2.2.5 正向导通电压
- 2.2.6 薄基区二极管
2.2 PN结的直流电压方程
一般来说，对PN结外加正向电压为：P区接正，N区接负。
在外加正电压和外加反向电压时，PN结的伏安特性不同， PN 结在正向电压下电流很大 ，在反向电压下电流很小，且不符合欧姆定律，接下来讨论产生这些现象的原因。
2.2.1 外加电压时载流子的运动情况
1.外加正向电压时载流子的运动情况
外加正向电压 V V V 后， x d x_d xd 与 ∣ E ∣ m a x \vert E\vert_{max} ∣E∣max 减小， P N PN PN 结的势垒高度由 q V b i qV_{bi} qVbi降为 q ( V b i − V ) q(V_{bi} -V ) q(Vbi−V) 。
因为 x d = ε s q N 0 ∣ E ∣ m a x x_d= \frac{\varepsilon_s}{qN_0}\vert E\vert_{max} xd=qN0εs∣E∣max，所以在浓度不变的情况下斜率是不会发生变化的，所以变化如图所示：
势垒高度降低后不能再阻止 N N N区电子向 P P P区的扩散 及 P P P区空穴向 N N N区的扩散，于是形成正向电流 。由于正向电流的电荷来源是多子，所以正向电流很大。
正向电流组成：
-
N型区：外加正向电压使势垒高度比平衡时低，所以势垒区附近的扩散电流大于反向漂移电流。P区空穴通过扩散进入N区，形成注入到N区的少子电流。空穴边扩散边与电子复合，电子由电极（外给）补充，最终N区的空穴流转换成电子的漂移流。N区扩散电流密度 J d p J_{dp} Jdp
-
P型区：同理。P区扩散电流密度 J d n J_{dn} Jdn
-
势垒区：部分电子空穴在势垒区发生复合，不流入中性区，形成势垒复合电流 J r J_{r} Jr 。
2.外加反向电压时载流子的运动情况
外加反向电压 V V V 后， x d x_d xd 与 ∣ E ∣ m a x \vert E\vert_{max} ∣E∣max 增大， P N PN PN 结的势垒高度由 q V b i qV_{bi} qVbi升为 q ( V b i − V ) ( V < 0 ) q(V_{bi} -V ) \quad( V<0) q(Vbi−V)(V<0) 。
多子面临的势垒提高了，更不能扩散到对方区域中去了，但少子面临的势阱也更深了，所以更容易被反向电场拉入对方区域，从而形成反向电流。 由于反向电流的电荷来源是少子，所以反向电流很小。
正向电流组成：
-
N型区：势垒区边上N区的少子电子，被势垒区中的强大电场拉向P区。所减少的电子将由N区内部的空穴扩散过来补充形成扩散电流 J d p J_{dp} Jdp ，这些空穴是在N区内热激发产生的。空穴向势垒区移动，为了维持电流的连续性，电子向电极方向移动。N区的空穴扩散电流密度 J d p J_{dp} Jdp
-
P型区：势垒区边上P区的少子电子，被势垒区中的强大电场拉向N区。所减少的电子将由P去内部的电子扩散过来补充形成扩散电流 J d n J_{dn} Jdn ，这些电子是在P区内热激发产生的。电子向势垒区移动，为了维持电流的连续性，空穴向电极方向移动。P区的电子扩散电流密度 J d n J_{dn} Jdn
-
势垒区：在势垒区中，由复合中心热激发产生电子空穴对，电子被拉向N区，空穴被拉向P区，形成势垒区产生电流 J g J_{g} Jg
注：产生电流 J g J_g Jg和 J r J_r Jr可以合称为 J g r J_{gr} Jgr。
个人总结：
- 正向电流是由多子扩散构成；从微电子器件角度研究，反向电流是由少子扩散构成。（模电里 定义少子漂移，多子扩散）
- 中性区中载流子浓度高，可以认为电阻很小，电势加在了势垒区两侧。势垒区中没有载流子，电阻可以认为很大。（助于理解）
- 明确N区和和P区的电流组成，在每个区内产生的电流，其根本是哪种载流子产生的。 比如说：正向电压下，N区内电流，是P区空穴进入后复合产生的，所以P区内的电流的根源是空穴的注入，又因为空穴是扩散进入的，所以符号是 J d p J_{dp} Jdp。反向电压下，N区内电流，是N区势垒边界处空穴被强电场拉入P区，浓度几乎为零，产生浓度梯度，然后N区内部空穴扩散过来补充，这些空穴由热激发产生，形成扩散电流 J d p J_{dp} Jdp。
2.2.1 势垒区两旁载流子浓度的玻尔兹曼分布
以空穴浓度为例:
平衡状态时净空穴电流为0，即漂移和扩散抵消：
q p μ p e = q D p d p d x qp\mu_p e=qD_p\frac{d{p}}{d{x}} qpμpe=qDpdxdp
则：
E = k T q ⋅ d l n p d x E=\frac{kT}{q}\cdot \frac{d{lnp}}{d{x}} E=qkT⋅dxdlnp
积分得电势：
平 衡 时 ： V b i = k T q l n p p 0 p n 0 平衡时： V_{bi}=\frac{kT}{q}ln\frac{p_{p0}}{p_{n0}} 平衡时：Vbi=qkTlnpn0pp0
非 平 衡 时 ： V b i − V = k T q l n p p p n 非平衡时： V_{bi}-V=\frac{kT}{q}ln\frac{p_{p}}{p_{n}} 非平衡时：Vbi−V=qkTlnpnpp
得势垒区两旁空穴浓度之间的关系：
p n p p = e x p [ − q ( V b i − V ) k T ] \frac{p_n}{p_p}=exp \left[-\frac{q(V_{bi}-V)}{kT} \right] pppn=exp[−kTq(Vbi−V)]
q ( V b i − V ) q(V_{bi}-V) q(Vbi−V)为外加电压后空穴从P区到N区所面临的势垒高度，该使说明在有外加电压时，PN结势垒区两旁的空穴浓度仍然遵守玻尔兹曼分布。
小注入下（之后对他讨论），可以认为P区的多子浓度 p p p_p pp和P区的平衡多子浓度 p p 0 p_{p0} pp0相等，故可将上式写成：
p n = p p 0 e x p [ − q ( V b i − V ) k T ] p_n=p_{p0}exp \left[-\frac{q(V_{bi}-V)}{kT} \right] pn=pp0exp[−kTq(Vbi−V)]
将 V b i V_{bi} Vbi代入上式中消掉，得：
p n = p n 0 e x p ( q V k T ) {\color{Red}p_n=p_{n0}exp \left(\frac{qV}{kT} \right)} pn=pn0exp(kTqV)
同理可得：
n p = n p 0 e x p ( q V k T ) {\color{Red}n_p=n_{p0}exp \left(\frac{qV}{kT} \right)} np=np0exp(kTqV)
上面两式说明：当 PN 结有外加电压 V 时，中性区与耗尽区边界处的少子浓度等于平衡时的少子浓度乘以 e x p ( q V / k T ) exp (qV/kT ) exp(qV/kT) 。以上两式常被称为“结定律”，对正、反向电压均适用。但在正向时只适用于小注入。
2.2.3 扩散电流
范围为突变PN结在小注入情况下的扩散电流。
1.少子浓度的边界条件
求扩散电流的思路：首先确定少子浓度的边界条件；结合边界条件求解少子的扩散方程，得到中性区内非平衡少子浓度分布；将少子浓度分布代入略去漂移电流后的少子电流密度方程，即可得到少子扩散电流密度 J d p J_{dp} Jdp 与 J d n J_{dn} Jdn。
假设中性区的长度远大于少子扩散长度，则根据结定律可得少子浓度的边界条件 为：
N 区 ： p n ( x n ) = p n 0 e x p ( q V k T ) , p n ∣ x → ∞ = p n 0 N区：p_n(x_n)=p_{n0}exp \left(\frac{qV}{kT} \right),p_n|_{x\to\infty}=p_{n0} N区：pn(xn)=pn0exp(kTqV),pn∣x→∞=pn0
P 区 ： n p ( − x d ) = n p 0 e x p ( q V k T ) , n p ∣ x → − ∞ = n p 0 P区：n_p(-x_d)=n_{p0}exp \left(\frac{qV}{kT} \right),n_p|_{x\to-\infty}=n_{p0} P区：np(−xd)=np0exp(kTqV),np∣x→−∞=np0
对于非平衡少子浓度 Δ p n = p n − p n 0 , Δ n p = n p − n p 0 \Delta p_n=p_n-p_{n0},\Delta n_p=n_p-n_{p0} Δpn=pn−pn0,Δnp=np−np0，其边界条件为：
N 区 ： Δ p n ( x n ) = p n 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] , Δ p n ∣ x → ∞ = 0 N区：\Delta p_n(x_n)=p_{n0}\left[exp \left(\frac{qV}{kT} \right)-1\right],\Delta p_n|_{x\to\infty}=0 N区：Δpn(xn)=pn0[exp(kTqV)−1],Δpn∣x→∞=0
P 区 ： Δ n p ( − x d ) = n p 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] , Δ n p ∣ x → − ∞ = 0 P区：\Delta n_p(-x_d)=n_{p0}\left[exp \left(\frac{qV}{kT} \right)-1\right],\Delta n_p|_{x\to-\infty}=0 P区：Δnp(−xd)=np0[exp(kTqV)−1],Δnp∣x→−∞=0
当外加正向电压且 V >> kT/q ( 室温下约为 26 mV ) 时，非平衡少子的边界条件可简化为：
N 区 ： Δ p n ( x n ) = p n 0 e x p ( q V k T ) , Δ p n ∣ x → ∞ = p n 0 N区：\Delta p_n(x_n)=p_{n0}exp \left(\frac{qV}{kT} \right),\Delta p_n|_{x\to\infty}=p_{n0} N区：Δpn(xn)=pn0exp(kTqV),Δpn∣x→∞=pn0
P 区 ： Δ n p ( − x d ) = n p 0 e x p ( q V k T ) , n p ∣ x → − ∞ = n p 0 P区：\Delta n_p(-x_d)=n_{p0}exp \left(\frac{qV}{kT} \right),n_p|_{x\to-\infty}=n_{p0} P区：Δnp(−xd)=np0exp(kTqV),np∣x→−∞=np0
当外加反向电压且 |V| >> kT/q 时,非平衡少子的边界条件可以简化为：
N 区 ： Δ p n ( x n ) = 0 − p n 0 = − p n 0 , Δ p n ∣ x → ∞ = 0 N区：\Delta p_n(x_n)=0-p_{n0}=-p_{n0},\Delta p_n|_{x\to\infty}=0 N区：Δpn(xn)=0−pn0=−pn0,Δpn∣x→∞=0
P 区 ： Δ n p ( − x d ) = 0 − n p 0 = − n p 0 , Δ n p ∣ x → ∞ = 0 P区：\Delta n_p(-x_d)=0-n_{p0}=-n_{p0},\Delta n_p|_{x\to\infty}=0 P区：Δnp(−xd)=0−np0=−np0,Δnp∣x→∞=0
2.中性区内的少子浓度分布
N区中的空穴扩散方程：
∂ p n ∂ t = D p ∂ 2 p n ∂ x 2 − Δ p n τ p （ 书 P 23 例 1.4 ， 由 连 续 性 − 输 运 方 程 化 简 得 到 ） \frac{\partial p_n }{\partial t }=D_{p}\frac{\partial^2 p_n }{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} （书P23例1.4，由连续性-输运方程化简得到） ∂t∂pn=Dp∂x2∂2pn−τpΔpn（书P23例1.4，由连续性−输运方程化简得到）
直流(定态)情况下：
∂ p n ∂ t = 0 （ 定 态 情 况 ） ， ∂ 2 p n 0 ∂ t 2 = 0 ( 平 衡 状 态 ) \frac{\partial p_n }{\partial t }=0（定态情况），\frac{\partial^2 p_{n0} }{\partial t^2 }=0(平衡状态) ∂t∂pn=0（定态情况），∂t2∂2pn0=0(平衡状态)
所以：
∂ 2 p n ∂ x 2 = ∂ 2 ( p n 0 + Δ p n ) ∂ x 2 = ∂ 2 Δ p n ∂ x 2 = d 2 Δ p n d x 2 ( 推 导 一 下 数 学 方 面 的 ) \frac{\partial^2 p_n }{\partial x^2}=\frac{\partial^2 (p_{n0}+\Delta p_n ) }{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \Delta p_n }{\partial x^2}=\frac{\mathrm{d}^2 \Delta p_n }{\mathrm{d} x^2}(推导一下数学方面的) ∂x2∂2pn=∂x2∂2(pn0+Δpn)=∂x2∂2Δpn=dx2d2Δpn(推导一下数学方面的)
故可得：
D p d 2 Δ p n d x 2 − Δ p n τ p = 0 D_{p}\frac{\mathrm{d}^2 \Delta p_n }{\mathrm{d} x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} =0 Dpdx2d2Δpn−τpΔpn=0
变换得：
d 2 Δ p n d x 2 = Δ p n L P 2 （ y ′ ′ = a y 形 式 的 微 分 方 程 ） \frac{\mathrm{d}^2\Delta p_n }{\mathrm{d} x^2}=\frac{\Delta p_n}{L_P^2}（y^{\prime\prime}=ay形式的微分方程） dx2d2Δpn=LP2Δpn（y′′=ay形式的微分方程）
其中 L P = D p τ p {\color{Red}{L_P}=\sqrt{D_p \tau_p}} LP=Dpτp，我们把 L p L_p Lp称为空穴的扩散长度，典型值为10 μ m \mu m μm。
扩散方程的通解计算：
设 特 征 方 程 为 ： s 2 − 1 L P 2 = 0 解 得 s = ± 1 L P ∴ Δ p n ( x ) = A e x p ( − x L p ) + B e x p ( x L p ) 设特征方程为：s^2-\frac{1}{L_P^2}=0\\解得s=\pm \frac{1}{L_P} \\ \therefore\Delta p_n(x)=Aexp\left(-\frac{x}{L_p} \right)+Bexp\left(\frac{x}{L_p} \right) 设特征方程为：s2−LP21=0解得s=±LP1∴Δpn(x)=Aexp(−Lpx)+Bexp(Lpx)
当 N 区足够长 (>> L p L_p Lp) 时，利用 p n ( x ) p_n(x) pn(x)的边界条件(代入即可，我就不列出来了)可解出系数 A、B，于是可得 N 区内的非平衡少子空穴的分布为:
Δ p n ( x ) = p n 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] e x p ( − x − x n L p ) , ( x ≥ x n ) ① \Delta p_n(x)=p_{n0}\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right]exp\left(-\frac{x-x_n}{L_p} \right),(x\ge x_n) ① Δpn(x)=pn0[exp(kTqV)−1]exp(−Lpx−xn),(x≥xn)①
P 区内的非平衡少子电子也有类似的分布，即：
Δ n p ( x ) = n p 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] e x p ( x + x p L p ) , ( x ≤ − x p ) ② \Delta n_p(x)=n_{p0}\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right]exp\left(\frac{x+x_p}{L_p} \right),(x\leq -x_p)② Δnp(x)=np0[exp(kTqV)−1]exp(Lpx+xp),(x≤−xp)②
外加正向电压时 PN 结中的少子分布图：
- 先解释一下两边为什么不对称，因为它就是这么画的。从图中可以明显看出 p n 0 > n p 0 p_{n0}>n_{p0} pn0>np0，由 n i 2 = p n 0 ⋅ p p 0 n_i^2=p_{n0}\cdot p_{p0} ni2=pn0⋅pp0和 n i 2 = n n 0 ⋅ n p 0 n_i^2=n_{n0}\cdot n_{p0} ni2=nn0⋅np0可以得出 p p 0 > n n 0 p_{p0}>n_{n0} pp0>nn0,多子可以近似完全由电离杂质即 N D N_D ND和 N A N_A NA电离得到，则 N A = p p 0 > n n 0 = N D N_A=p_{p0}>n_{n0}=N_D NA=pp0>nn0=ND,由耗尽区宽度公式： x n = ε s q N D ∣ E ∣ m a x , x p = ε s q N A ∣ E ∣ m a x x_n=\frac{\varepsilon_s}{qN_D}\vert E\vert_{max},x_p=\frac{\varepsilon_s}{qN_A}\vert E\vert_{max} xn=qNDεs∣E∣max,xp=qNAεs∣E∣max,可得: x n > x p x_n>x_p xn>xp。
- 注入 N 区后的非平衡空穴在 N 区中一边扩散一边复合，其浓度随距离作指数式衰减。衰减的特征长度就是空穴的扩散长度 L p L_p Lp 。每经过一个 L p L_p Lp的长度，非平衡空穴浓度降为 1/e 。
外加反向电压时 PN 结中的少子分布图:
- N 区中势垒区附近的少子空穴全部被势垒区中的强大电场拉向 P 区， 所以空穴浓度在势垒区边界处最低，随距离作指数式增加，在足够远处恢复为平衡少子浓度。减少的空穴由 N 区内部通过热激发产生并扩散过来补充。
3. 扩散电流
将①式代入空穴电流密度方程（扩散方程），假设中性区内无电场，所以忽略漂移电流密度，并取 x = x n x=x_n x=xn，就可得到N区中耗尽区边界处空穴扩散电流密度：
J d p = q D p L p p n 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] ③ J_{dp}=\frac{qD_p}{L_p}p_{n0}\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right]③ Jdp=LpqDppn0[exp(kTqV)−1]③
同样的方法得到P区中耗尽区边界处电子扩散电流密度：
J d n = q D n L n n p 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] ④ J_{dn}=\frac{qD_n}{L_n}n_{p0}\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right]④ Jdn=LnqDnnp0[exp(kTqV)−1]④
总的扩散电流密度=③+④：
J d = q ( D p L p p n 0 + D n L n n p 0 ) ⋅ [ e x p ( q V k T ) − 1 ] J_d=q\left(\frac{D_p}{L_p}p_{n0}+\frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right)\cdot\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right] Jd=q(LpDppn0+LnDnnp0)⋅[exp(kTqV)−1]
令
J 0 ≡ q ( D p L p p n 0 + D n L n n p 0 ) = q n i 2 ( D p L p N D + D n L n N A ) J_0\equiv q\left(\frac{D_p}{L_p}p_{n0}+\frac{D_n}{L_n}n_{p0} \right)=qn_i^2\left(\frac{D_p}{L_pN_D} +\frac{D_n}{L_nN_A} \right) J0≡q(LpDppn0+LnDnnp0)=qni2(LpNDDp+LnNADn)
则有：
J d = J 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] J_d=J_0\left[exp(\frac{qV}{kT})-1\right] Jd=J0[exp(kTqV)−1]
当外加正向电压且V ≫ k T / q \gg kT/q ≫kT/q时，上式可化简为：
J d = J 0 e x p ( q V k T ) J_d=J_0exp(\frac{qV}{kT}) Jd=J0exp(kTqV)
由此可见正向电压每增大 k T / q kT/q kT/q，正向电流增大e倍。
当外加反向电压且 ∣ V ∣ ≫ k T / q |V|\gg kT/q ∣V∣≫kT/q,可简化为 J d = − J 0 J_d=-J_0 Jd=−J0
4.反向饱和电流
当反向电压数值远大于（ k T / q kT/q kT/q）后，反向电流密度保持恒定值 − J 0 -J_0 −J0,而与反向电压大小无关，所以 J 0 J_0 J0被称为反向饱和电流密度。
简单的物理解释：凡是离势垒区边界一个扩散长度范围内产生的少子，均可构成电流。
J 0 J_0 J0的影响因素:
- 与材料种类的关系： E G E_G EG↑，则 n i n_i ni↓， J 0 J_0 J0↓；
- 与掺杂浓度的关系： N D N_D ND 、 N A N_A NA↑，则 ( p n 0 p_{n0} pn0 、 n p 0 n_{p0} np0）↓， J 0 J_0 J0↓， 主要取决于低掺杂一侧的杂质浓度。
- 与温度 T 的关系： T T T ↑， E G E_G EG↓，则 n i n_i ni↑， J 0 J_0 J0↑，因此 J 0 J_0 J0具有正温系数。这是影响 PN 结热稳定性的重要因素。
2.2.4 势垒区产生复合电流
J g r = q ∫ − x p x n U d x J_{gr}=q\int_{-x_p}^{x_n}U \,dx Jgr=q∫−xpxnUdx
1.势垒区的净复合率
由式（1-17），净复合率 U 可表为： U = n p − n i 2 τ ( n + p + 2 n i ) U=\frac{np-n_i^2}{\tau (n+p+2n_i)} U=τ(n+p+2ni)np−ni2
已知在中性区里：
U ≈ { Δ n , τ n P 区 内 Δ p , τ p , N 区 内 U \approx \begin{cases} \frac{\Delta n,}{\tau_n}P区内 \\ \frac{\Delta p,}{\tau_p}, N区内 \end{cases} U≈{τnΔn,P区内τpΔp,,N区内
由第 2.1 节已知，在势垒区中，当外加电压V时，
n p = n i 2 e x p ( q V k T ) np=n_i^2 exp\left(\frac{qV}{kT} \right) np=ni2exp(kTqV)
可见：
- 当 V = 0 时 ， n p = n i 2 , U = 0 ; 当V=0时，np=n_i^2,U=0; 当V=0时，np=ni2,U=0;
- 当 V > 0 时 ， n p > n i 2 ， U > 0 ， 发 生 净 复 合 ； 当 V > 0 时，np > n_i^2 ，U > 0 ，发生净复合； 当V>0时，np>ni2，U>0，发生净复合；
- 当 V < 0 时 ， n p < n i 2 ， U < 0 ， 发 生 净 产 生 。 当V<0时，np < n_i^2， U<0 ，发生净产生。 当V<0时，np<ni2，U<0，发生净产生。
为简化计算，可假设在势垒区中n与p相等，且不随x而变化，即：
n ≈ p ≈ n i e x p ( q V 2 k T ) n\approx p\approx n_i exp\left(\frac{qV}{2kT} \right) n≈p≈niexp(2kTqV)
则：
U = n p − n i 2 τ ( n + p + 2 n i ) ≈ n i [ e x p ( q V k T ) − 1 ] 2 τ [ e x p ( q V 2 k T ) + 1 ] U=\frac{np-n_i^2}{\tau (n+p+2n_i)}\approx\frac{n_i\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right]}{2\tau \left[exp\left(\frac{qV}{2kT} \right)+1 \right] } U=τ(n+p+2ni)np−ni2≈2τ[exp(2kTqV)+1]ni[exp(kTqV)−1]
2.势垒区产生复合电流
J g r = q ∫ − x p x n U d x = q U x d = q n i x d [ e x p ( q V k T ) − 1 ] 2 τ [ e x p ( q V 2 k T ) + 1 ] J_{gr}=q\int_{-x_p}^{x_n}U \,dx=qUx_d=\frac{qn_i x_d\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right]}{2\tau \left[exp\left(\frac{qV}{2kT} \right)+1 \right] } Jgr=q∫−xpxnUdx=qUxd=2τ[exp(2kTqV)+1]qnixd[exp(kTqV)−1]
- 当 V = 0 时 , J g r = 0 当V= 0 时,J_{gr} = 0 当V=0时,Jgr=0；
- 当 V > > k T / q 时 ， J g r ≈ q n i x d 2 τ ⋅ e x p ( q V 2 k T ) 当 V >> kT/q 时，J_{gr} \approx \frac{qn_i x_d}{2\tau }\cdot exp\left(\frac{qV}{2kT} \right) 当V>>kT/q时，Jgr≈2τqnixd⋅exp(2kTqV)
(上下同时忽略中括号里后项) - 当 V < 0 且 ∣ V ∣ > > k T / q 时 ， J g r ≈ − q n i x d 2 τ 当 V < 0 且 |V| >> kT/q 时，J_{gr} \approx -\frac{qn_i x_d}{2\tau } 当V<0且∣V∣>>kT/q时，Jgr≈−2τqnixd
(上下同时忽略中括号里前项) - 关于公式里形如 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] \left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1\right] [exp(kTqV)−1]，一般当V ≫ \gg ≫kT/q时都可忽略1。
3.扩散电流与势垒区产生复合电流的比较
以 P + N P^+N P+N结为例，当外加正向电压且 V ≫ k T / q V \gg kT/q V≫kT/q 时，
J d J r = q n i 2 ( D p L p N D + D n L n N A ) ⋅ [ exp ( q V k T ) − 1 ] q n i x d 2 τ ⋅ [ e x p ( q V 2 k T ) − 1 ] = 2 n i τ D p x d L p N D e x p ( q V 2 k T ) = 2 n i L p 2 x d L p N D e x p ( q V 2 k T ) = 2 n i L p x d N D e x p ( q V 2 k T ) = 2 N C N V L p x d N D e x p ( − E G + q V 2 k T ) \frac{J_d}{J_r}= \frac{qn_i^2\left(\frac{D_p}{L_pN_D} {\color{Red}+\frac{D_n}{L_nN_A}}\right)\cdot\left[\exp\left(\frac{qV}{kT} \right){\color{Red}-1}\right]}{\frac{qn_i x_d}{2\tau }\cdot \left[ exp\left(\frac{qV}{2kT} \right){\color{Red}-1} \right]}=\frac{2n_i \tau D_p}{x_d L_pN_D} exp\left(\frac{qV}{2kT} \right)\\ = \frac{2n_i L_p^2}{x_d L_pN_D} exp\left(\frac{qV}{2kT} \right)=\frac{2n_i L_p}{x_d N_D} exp\left(\frac{qV}{2kT} \right)\\ =\frac{2\sqrt{N_C N_V} L_p}{x_d N_D} exp\left(\frac{-E_G+qV}{2kT} \right) JrJd=2τqnixd⋅[exp(2kTqV)−1]qni2(LpNDDp+LnNADn)⋅[exp(kTqV)−1]=xdLpND2niτDpexp(2kTqV)=xdLpND2niLp2exp(2kTqV)=xdND2niLpexp(2kTqV)=xdND2NCNVLpexp(2kT−EG+qV)
- 红色部分为忽略部分，实际计算中已忽略。
当 V V V比较小时，以 J r J_r Jr为主；当 V V V比较大时，以 J d J_d Jd为主。 E G E_G EG越大，则过渡电压值就越高。
对于硅 PN 结，当 V V V< 0.3V 时，以 J r J_r Jr为主；当 V V V> 0.45V 时，以 J d J_d Jd为主。
在 l n I ln I lnI ~ V V V 特性曲线中，当以 J r J_r Jr为主时，
I = A J r ≈ a q n i x d 2 τ ⋅ e x p ( q V 2 k T ) I=AJ_r\approx \frac{aqn_ix_d}{2\tau}\cdot exp\left(\frac{qV}{2kT} \right) I=AJr≈2τaqnixd⋅exp(2kTqV)
l n I = l n ( a q n i x d 2 τ ) + ( q 2 k T ) ⋅ V ln I=ln\left( \frac{aqn_ix_d}{2\tau} \right)+\left(\frac{q}{2kT}\right)\cdot V lnI=ln(2τaqnixd)+(2kTq)⋅V
V V V与 l n I ln I lnI成正比，斜率为q/2kT。
当以 J d J_d Jd为主时，
I = A J r ≈ a q n i 2 D p L p N D ⋅ e x p ( q V k T ) I=AJ_r\approx \frac{aqn_i^2 D_p}{L_p N_D}\cdot exp\left(\frac{qV}{kT} \right) I=AJr≈LpNDaqni2Dp⋅exp(kTqV)
l n I = l n ( a q n i 2 D p L p N D ) + ( q k T ) ⋅ V ln I=ln\left( \frac{aqn_i^2 D_p}{L_p N_D} \right)+\left(\frac{q}{kT}\right)\cdot V lnI=ln(LpNDaqni2Dp)+(kTq)⋅V
V V V与 l n I ln I lnI成正比，斜率为q/kT。
当外加反向电压且 ∣ V ∣ ≫ k T / q |V| \gg kT/q ∣V∣≫kT/q 时，
J d J g = − J 0 − q n i x d 2 τ = − q n i 2 ( D p L p N D + D n L n N A ) − q n i x d 2 τ = 2 n i τ D p L p N D x d = 2 n i L p 2 L p N D x d = 2 n i L p N D x d = 2 N C N V L p N D x d e x p ( − E G 2 k T ) \frac{J_d}{J_g} =\frac{-J_0}{ -\frac{qn_i x_d}{2\tau }} = \frac {-qn_i^2\left(\frac{D_p}{L_pN_D} {\color{Red}+\frac{D_n}{L_nN_A}} \right)}{ -\frac{qn_i x_d}{2\tau }} =\frac{2 n_i \tau D_p}{L_pN_Dx_d}\\ =\frac{2 n_i L_p^2}{L_pN_Dx_d} =\frac{2 n_i L_p}{N_Dx_d} =\frac{2 \sqrt{N_C N_V} L_p}{N_Dx_d} exp\left(-\frac{E_G}{2kT} \right) JgJd=−2τqnixd−J0=−2τqnixd−qni2(LpNDDp+LnNADn)=LpNDxd2niτDp=LpNDxd2niLp2=NDxd2niLp=NDxd2NCNVLpexp(−2kTEG)
- 红色部分为忽略部分，实际计算中已忽略。
当温度较低时，以 J g J_g Jg为主，
I = − A q n i x d 2 τ ∝ e x p ( − E G 2 k T ) I=-\frac{A q n_i x_d}{2\tau } \propto exp\left(-\frac{E_G}{2kT} \right) I=−2τAqnixd∝exp(−2kTEG)
当温度较高时，以 J d J_d Jd为主，
I = − A q n i 2 D p L p N D ∝ e x p ( − E G 2 k T ) I=\frac{-Aqn_i^2D_p}{L_pN_D} \propto exp\left(-\frac{E_G}{2kT} \right) I=LpND−Aqni2Dp∝exp(−2kTEG)
E G E_G EG越大，则由以 J g J_g Jg为主过渡到以 J d J_d Jd为主的温度就越高。
2.2.5 正向导通电压
在常用的正向电压和温度范围内，PN 结的正向电流以扩散电流 J d J_d Jd为主。这时正向电流可表示为：
I = A J d = A J 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] I=AJ_d=AJ_0\left[exp(\frac{qV}{kT})-1\right] I=AJd=AJ0[exp(kTqV)−1]
由于反向饱和电流 I 0 I_0 I0的值极小，当正向电压较低时，正向电流很小，PN 结似乎未导通。只有当正向电压达到一定值时，才出现明显的正向电流。将正向电流达到某规定值（例如几百微安到几毫安）时的正向电压称为正向导通电压，记作 V F V_F VF 。
书上给出结论：凡是 I 0 I_0 I0增大的因素，都会使导通电压变小。 我们则可以得出影响正向导通电压 V F V_F VF的因素：
- E G ↑ ， 则 I 0 ↓ ， V F ↑ E_G↑，则 I_0↓，V_F↑ EG↑，则I0↓，VF↑；
- N A 、 N D ↑ ， 则 I 0 ↓ ， V F ↑ N_A 、N_D↑，则 I_0↓，V_F↑ NA、ND↑，则I0↓，VF↑，主要取决于低掺杂一侧的杂质浓度；
- T ↑ ， 则 I 0 ↑ ， V F ↓ ， T ↑， 则 I_0↑，V_F↓， T↑，则I0↑，VF↓，因此 V F V_F VF具有负温系数。
- 对 V F V_F VF 影响最大的因素是 E G E_G EG 。锗 PN 结的 V F V_F VF约为 0.25V， 硅 PN 结的 V F V_F VF约为 0.7V 。
2.2.6 薄基区二极管
（主要记概念和结论）
前面讨论少子浓度的边界条件时曾假设：中性区长度远大于少子扩散长度。那时中性区外侧的非平衡少子浓度的边界条件是:
Δ p n ∣ x → ∞ = 0 , Δ n p ∣ x → ∞ = 0 \Delta p_n|_{x\to\infty}=0, \Delta n_p|_{x\to\infty}=0 Δpn∣x→∞=0,Δnp∣x→∞=0
如图：
薄基区二极管定义： 某一个或两个中性区的长度小于少子扩散长度的 PN 结。
定义一个如下图所示的PN结，将N型中性区（基区）长度设为 W B W_B WB，将该区与势垒区边界定为x=0。
它的边界条件为：
Δ p n ( 0 ) = p n 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] , Δ p n ( W B ) = 0 \Delta p_n(0)=p_{n0}\left[exp \left(\frac{qV}{kT} \right)-1\right], \Delta p_n(W_B)=0 Δpn(0)=pn0[exp(kTqV)−1],Δpn(WB)=0
这时其扩散电流 J d J_d Jd会因为少子浓度的边界条件不同而有所不同。但势垒区产生复合电流 J g r J_{gr} Jgr的表达式无任何变化。
利用上述边界条件，求解扩散方程得到的N区中的非平衡少子分布为：
Δ p n ( 0 ) = p n 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] ⋅ s i n h ( W B − x L p ) s i n h ( W B L p ) \Delta p_n(0)=p_{n0}\left[exp \left(\frac{qV}{kT} \right)-1\right] \cdot \frac{sinh\left(\frac{W_B - x }{L_p}\right)}{sinh\left(\frac{W_B }{L_p}\right)} Δpn(0)=pn0[exp(kTqV)−1]⋅sinh(LpWB)sinh(LpWB−x)
- 其中 s i n h ( ξ ) = e ξ − e − ξ 2 sinh(\xi)=\frac{e^\xi-e^{-\xi}}{2} sinh(ξ)=2eξ−e−ξ。
上式实际上可以适用于任意 W B W_B WB值。当 W B → ∞ W_B → \infty WB→∞时，上式近似为：
Δ p n ( 0 ) = p n 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] ⋅ e x p ( − x L p ) \Delta p_n(0)=p_{n0}\left[exp \left(\frac{qV}{kT} \right)-1\right] \cdot exp\left(-\frac{x}{L_p}\right) Δpn(0)=pn0[exp(kTqV)−1]⋅exp(−Lpx)
在薄基区二极管中， W B ≪ L p W_B \ll L_p WB≪Lp ，利用近似公式 s i n h ( ξ ) ≈ ξ sinh(\xi) \approx \xi sinh(ξ)≈ξ， ( ∣ ξ ∣ ≪ 1 |\xi| \ll 1 ∣ξ∣≪1 时) ，得：
Δ p n ( 0 ) = p n 0 [ e x p ( q V k T ) − 1 ] ⋅ ( 1 − x W B ) ( 常 用 ) {\color{Green}\Delta p_n(0)=p_{n0}\left[exp \left(\frac{qV}{kT} \right)-1\right] \cdot \left(1-\frac{x}{W_B} \right)} (常用) Δpn(0)=pn0[exp(kTqV)−1]⋅(1−WBx)(常用)
上式对正、反向电压都适用。类似地可得P区中的非平衡少子分布 n p ( x ) n_p(x) np(x) 的表达式。薄基区二极管中的少子分布图为：
当 W B ≪ L p W_B \ll L_p WB≪Lp时的空穴扩散电流密度为：
J d p = − q D p d Δ p n d x ∣ x = 0 = q D p n i 2 W B N D [ e x p ( q V k T ) − 1 ] J_{dp}=-q D_p\frac{d{\Delta p_n}}{d{x}}|_{x=0}=\frac{qD_pn_i^2}{W_B N_D}\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right] Jdp=−qDpdxdΔpn∣x=0=WBNDqDpni2[exp(kTqV)−1]
当 W E ≪ L n W_E \ll L_n WE≪Ln时的电子扩散电流密度为：
J d n = − q D n d Δ n p d x ∣ x = 0 = q D n n i 2 W E N A [ e x p ( q V k T ) − 1 ] J_{dn}=-q D_n\frac{d{\Delta n_p}}{d{x}}|_{x=0}=\frac{qD_n n_i^2}{W_E N_A}\left[exp\left(\frac{qV}{kT} \right)-1 \right] Jdn=−qDndxdΔnp∣x=0=WENAqDnni2[exp(kTqV)−1]
与厚基区二极管的扩散电流密度公式相比较，差别仅在于分别用 W B 、 W E W_B 、W_E WB、WE 来代替 L p 、 L n L_p 、L_n Lp、Ln 。
这篇关于学习笔记（5）：《微电子器件》陈星弼（第四版）第2章 PN结的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
