本文主要是介绍[LeetCode] 只需一个“状态机”,分分钟解决六道买卖股票问题,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
0 方法初识
本文 旨在解决六道买卖股票问题
121. 买卖股票的最佳时机
➕122. 买卖股票的最佳时机 II
➕ 123. 买卖股票的最佳时机 III
➕188. 买卖股票的最佳时机 IV
➕309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
➕ 714. 买卖股票的最佳时机含手续费
这篇文章用状态机的技巧来解决,可以全部提交通过。不要觉得这个名词高大上,文学词汇而已,实际上就是 DP table,
本文参考链接 一个方法团灭 6 道股票问题
这类问题是有框架的,但是人家不会告诉你的,因为一旦告诉你,你五分钟就学会了,该算法题就不再神秘,变得不堪一击了。
本文就来告诉你这个框架,然后带着你一道一道秒杀。
这 6 道股票买卖问题是有共性的,我们通过对第四题(限制最大交易次数为 k)的分析一道一道解决。因为第四题是一个最泛化的形式,其他的问题都是这个形式的简化。
第一题是只进行一次交易,相当于 k = 1;第二题是不限交易次数,相当于 k = +infinity(正无穷);第三题是只进行 2 次交易,相当于 k = 2;剩下两道也是不限次数,但是加了交易「冷冻期」和「手续费」的额外条件,其实就是第二题的变种,都很容易处理。
1 穷举框架
首先,还是一样的思路:如何穷举?
这里,我们利用「状态」进行穷举。我们具体到每一天,看看总共有几种可能的「状态」,再找出每个「状态」对应的「选择」。
我们要穷举所有「状态」,穷举的目的是根据对应的「选择」更新状态。听起来抽象,你只要记住「状态」和「选择」两个词就行,下面实操一下就很容易明白了。
for 状态1 in 状态1的所有取值:for 状态2 in 状态2的所有取值:for ...dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)
比如说这个问题,每天都有三种「选择」:买入、卖出、无操作,我们用 buy, sell, rest 表示这三种选择。但问题是,并不是每天都可以任意选择这三种选择的,因为 sell 必须在 buy 之后,buy 必须在 sell 之后。那么 rest 操作还应该分两种状态,一种是 buy 之后的 rest(持有了股票),一种是 sell 之后的 rest(没有持有股票)。而且别忘了,我们还有交易次数 k 的限制,就是说你 buy 还只能在 k > 0 的前提下操作。
很复杂对吧,不要怕,我们现在的目的只是穷举,你有再多的状态,老夫要做的就是一把梭全部列举出来。这个问题的「状态」有三个,第一个是天数,第二个是允许交易的最大次数,第三个是当前的持有状态(即之前说的 rest 的状态,我们不妨用 1 表示持有,0 表示没有持有)。然后我们用一个三维数组就可以装下这几种状态的全部组合:
dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数,大 K 为最多交易数
此问题共 n × K × 2 种状态,全部穷举就能搞定。for 0 <= i < n:for 1 <= k <= K:for s in {0, 1}:dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)
而且我们可以用自然语言描述出每一个状态的含义,比如说 dp[3][2][1] 的含义就是:今天是第三天,我现在手上持有着股票,至今最多进行 2 次交易
。再比如 dp[2][3][0] 的含义:今天是第二天,我现在手上没有持有股票,至今最多进行 3 次交易。很容易理解,对吧?
我们想求的最终答案是 dp[n - 1][K][0],即最后一天,最多允许 K 次交易,最多获得多少利润
。读者可能问为什么不是 dp[n - 1][K][1]?因为 [1] 代表手上还持有股票,[0] 表示手上的股票已经卖出去了,很显然后者得到的利润一定大于前者。
记住如何解释「状态」,一旦你觉得哪里不好理解,把它翻译成自然语言就容易理解了。
2 状态转移框架
现在,我们完成了「状态」的穷举,我们开始思考每种「状态」有哪些「选择」,应该如何更新「状态」。只看「持有状态」,可以画个状态转移图。
通过这个图可以很清楚地看到,每种状态(0 和 1)是如何转移而来的。根据这个图,我们来写一下状态转移方程:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])max( 选择 rest , 选择 sell )解释:今天我没有持有股票,有两种可能:
要么是我昨天就没有持有,然后今天选择 rest,所以我今天还是没有持有;
要么是我昨天持有股票,但是今天我 sell 了,所以我今天没有持有股票了。dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])max( 选择 rest , 选择 buy )解释:今天我持有着股票,有两种可能:
要么我昨天就持有着股票,然后今天选择 rest,所以我今天还持有着股票;
要么我昨天本没有持有,但今天我选择 buy,所以今天我就持有股票了。
这个解释应该很清楚了,**如果 buy,就要从利润中减去 prices[i],如果 sell,就要给利润增加 prices[i]。**今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。而且注意 k 的限制,我们在选择 buy 的时候,把 k 减小了 1,很好理解吧,当然你也可以在 sell 的时候减 1,一样的。
现在,我们已经完成了动态规划中最困难的一步:状态转移方程。如果之前的内容你都可以理解,那么你已经可以秒杀所有问题了,只要套这个框架就行了。不过还差最后一点点,就是定义 base case,即最简单的情况。
dp[-1][k][0] = 0
解释:因为 i 是从 0 开始的,所以 i = -1 意味着还没有开始,这时候的利润当然是 0 。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释:还没开始的时候,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释:因为 k 是从 1 开始的,所以 k = 0 意味着根本不允许交易,这时候利润当然是 0 。
dp[i][0][1] = -infinity
解释:不允许交易的情况下,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。
把上面的状态转移方程总结一下:
base case:
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity状态转移方程:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
可能会问,这个数组索引是 -1 怎么编程表示出来呢,负无穷怎么表示呢?这都是细节问题,有很多方法实现。现在完整的框架已经完成,下面开始具体化。
3 题目实战详解(121. 买卖股票的最佳时机)
题目是这样子的:
给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易(即买入和卖出一支股票一次),设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意:你不能在买入股票前卖出股票。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出,最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。
- 第一题,k = 1
直接套状态转移方程,根据 base case,可以做一些化简:
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i]) = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
解释:k = 0 的 base case,所以 dp[i-1][0][0] = 0。现在发现 k 都是 1,不会改变,即 k 对状态转移已经没有影响了。
可以进行进一步化简去掉所有 k:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
直接写出代码:
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
显然 i = 0 时 dp[i-1] 是不合法的。这是因为我们没有对 i 的 base case 进行处理。可以这样处理:
for (int i = 0; i < n; i++) {if (i - 1 == -1) {dp[i][0] = 0;// 解释:// dp[i][0] // = max(dp[-1][0], dp[-1][1] + prices[i])// = max(0, -infinity + prices[i]) = 0dp[i][1] = -prices[i];//解释:// dp[i][1] // = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i])// = max(-infinity, 0 - prices[i]) // = -prices[i]continue;}dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
第一题就解决了,但是这样处理 base case 很麻烦,而且注意一下状态转移方程,新状态只和相邻的一个状态有关,其实不用整个 dp 数组,只需要一个变量储存相邻的那个状态就足够了,这样可以把空间复杂度降到 O(1):
class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;// base case: dp[-1][0] = 0, dp[-1][1] = -infinityint dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;for (int i = 0; i < n; i++) {// dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);// dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, -prices[i]);}return dp_i_0;}
}
两种方式都是一样的,不过这种编程方法简洁很多。但是如果没有前面状态转移方程的引导,是肯定看不懂的。后续的题目,我主要写这种空间复杂度 O(1) 的解法。
4 秒杀题目
122. 买卖股票的最佳时机 II k = +infinity
给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。
注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
- 第二题,k = +infinity
如果 k 为正无穷,那么就可以认为 k 和 k - 1 是一样的。可以这样改写框架:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])= max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k][0] - prices[i])我们发现数组中的 k 已经不会改变了,也就是说不需要记录 k 这个状态了:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
直接翻译成代码:
class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;for (int i = 0; i < n; i++) {int temp = dp_i_0;dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, temp - prices[i]);}return dp_i_0;}
}
309. 最佳买卖股票时机含冷冻期 k = +infinity with cooldown
给定一个整数数组,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):
你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
- 第三题,k = +infinity with cooldown
每次 sell 之后要等一天才能继续交易。只要把这个特点融入上一题的状态转移方程即可:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i])
解释:第 i 天选择 buy 的时候,要从 i-2 的状态转移,而不是 i-1 。
翻译成代码:
class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int n = prices.length;int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;int dp_pre_0 = 0; // 代表 dp[i-2][0]for (int i = 0; i < n; i++) {int temp = dp_i_0;dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, dp_pre_0 - prices[i]);dp_pre_0 = temp;}return dp_i_0;}
}
714. 买卖股票的最佳时机含手续费k = +infinity with fee
给定一个整数数组 prices,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ;非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易,但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
- 第四题,k = +infinity with fee
每次交易要支付手续费,只要把手续费从利润中减去即可。改写方程:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee)
解释:相当于买入股票的价格升高了。
在第一个式子里减也是一样的,相当于卖出股票的价格减小了。
直接翻译成代码:
class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int n = prices.length;int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;for (int i = 0; i < n; i++) {int temp = dp_i_0;dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, temp - prices[i] - fee);}return dp_i_0;}
}
5 动脑做题(战斗力++)
123. 买卖股票的最佳时机 III k = 2
给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
- 第五题,k = 2
k = 2 和前面题目的情况稍微不同,因为上面的情况都和 k 的关系不太大。要么 k 是正无穷,状态转移和 k 没关系了;要么 k = 1,跟 k = 0 这个 base case 挨得近,最后也没有存在感。
这道题 k = 2 和后面要讲的 k 是任意正整数的情况中,对 k 的处理就凸显出来了。直接写代码,边写边分析原因。
原始的动态转移方程,没有可化简的地方
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
按照之前的代码,我们可能想当然这样写代码(错误的):
int k = 2;
int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++)if (i - 1 == -1) { /* 处理一下 base case*/ }dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][k][0];
为什么错误?我这不是照着状态转移方程写的吗?
还记得前面总结的「穷举框架」吗?就是说我们必须穷举所有状态。其实我们之前的解法,都在穷举所有状态,只是之前的题目中 k 都被化简掉了。这道题由于没有消掉 k 的影响,所以必须要对 k 进行穷举:
int max_k = 2;
int[][][] dp = new int[n][max_k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {for (int k = max_k; k >= 1; k--) {if (i - 1 == -1) { /*处理 base case */ }dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);}
}
// 穷举了 n × max_k × 2 个状态,正确。
return dp[n - 1][max_k][0];
如果你不理解,可以返回第一点「穷举框架」重新阅读体会一下。
这里 k 取值范围比较小,所以可以不用 for 循环,直接把 k = 1 和 2 的情况手动列举出来也可以:
dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + prices[i])
dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - prices[i])
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
题目代码如下:
class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int dp_i10 = 0, dp_i11 = Integer.MIN_VALUE;int dp_i20 = 0, dp_i21 = Integer.MIN_VALUE;for (int price : prices) {dp_i20 = Math.max(dp_i20, dp_i21 + price);dp_i21 = Math.max(dp_i21, dp_i10 - price);dp_i10 = Math.max(dp_i10, dp_i11 + price);dp_i11 = Math.max(dp_i11, -price);}return dp_i20;}
}
有状态转移方程和含义明确的变量名指导,相信你很容易看懂。
188. 买卖股票的最佳时机 IV k = any integer
给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
- 第六题,k = any integer
有了上一题 k = 2 的铺垫,这题应该和上一题的第一个解法没啥区别。但是出现了一个超内存的错误,原来是传入的 k 值会非常大,dp 数组太大了。现在想想,交易次数 k 最多有多大呢?
一次交易由买入和卖出构成,至少需要两天。所以说有效的限制 k 应该不超过 n/2,如果超过,就没有约束作用了,相当于 k = +infinity。这种情况是之前解决过的。
解决代码如下:
class Solution {public int maxProfit(int max_k, int[] prices) {int n = prices.length;if (max_k>=(n/2)) return maxProfit_k_inf(prices);int[][][] dp = new int[n][max_k + 1][2];for (int i = 0; i < n; i++) for (int k = max_k; k >= 1; k--) {if (i - 1 == -1) {dp[i][k][0] = 0;//因为交易笔数是完成的买入和卖出才算一次。//所以第一天交易笔数如果大于0的话,可以理解成第一天就买入和卖出了k次,//最后状态为1,则说明第一天最后是只买入了,尚未卖出dp[i][k][1] =-prices[i];continue;}dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);}return dp[n - 1][max_k][0];}private int maxProfit_k_inf(int[] prices) {int max = 0;for(int i = 1; i < prices.length; ++i) {if(prices[i] > prices[i-1])max += prices[i] - prices[i-1];}return max;}
}
至此,6 道题目通过一个状态转移方程全部解决。
6 总结
本文给大家讲了如何通过状态转移的方法解决复杂的问题,用一个状态转移方程秒杀了 6 道股票买卖问题,现在想想,其实也不算难对吧?这已经属于动态规划问题中较困难的了。
关键就在于列举出所有可能的「状态」,然后想想怎么穷举更新这些「状态」。一般用一个多维 dp 数组储存这些状态,从 base case 开始向后推进,推进到最后的状态,就是我们想要的答案。想想这个过程,你是不是有点理解「动态规划」这个名词的意义了呢?
具体到股票买卖问题,我们发现了三个状态,使用了一个三维数组,无非还是穷举 + 更新,不过我们可以说的高大上一点,这叫「三维 DP」。
所以,大家不要被各种高大上的名词吓到,再多的困难问题,奇技淫巧,也不过是基本套路的不断升级组合产生的。只要把住算法的底层原理,即可举一反三,逐个击破。
这篇关于[LeetCode] 只需一个“状态机”,分分钟解决六道买卖股票问题的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!