对称、群论与魔术（七）——魔术《tic tac toe》的奇迹Tally-Ho牌背秘密公开！...

本文主要是介绍对称、群论与魔术（七）——魔术《tic tac toe》的奇迹Tally-Ho牌背秘密公开！...，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

早点关注我，精彩不错过！

在前面的文章中，我们已经聊到了关于对称性作为是否在操作下具有不变性的本质，和一些非常优雅的对称结构的魔术效果。相关内容请戳：

对称、群论与魔术（六）——经典魔术《对称找牌》

对称、群论与魔术（五）——真实扑克牌图案的对称性探索

对称、群论与魔术（四）——空白扑克卡片的对称性研究

对称、群论与魔术（三）——常见的几何对称性简介

对称、群论与魔术（二）——用群来描述对称性

对称、群论与魔术（一）——对称性本质探索

今天我们接着上一篇的话题继续聊，并接着带来新的魔术作品！

Tally-Ho牌背秘密大公开！

先信守承诺，公布一下Tally-Ho牌背图案的非对称性秘密，我大胆揣测这一定是有意为之。因为如果想做到对称，像素级别的成立，对于这种级别的印刷厂，和这个规模的印刷品来说，应该是必须的。而出现这样的不对称，唯一的可能就是设计图的阶段就埋下了这个彩蛋。我们来看图：

图1 tallyho牌背图案

哈哈，有没有一点玩大家来找茬的感觉，这个图案非中心对称性的破坏点有二：

1. 上下两个穿过中轴线的八个花瓣的花，朝向里的两个花瓣之间的开口大小，上面的是很细的均匀细线，下面的是较粗的且有微弱的从宽变窄趋势的线；

2. 除了中轴线上的花瓣，还有左右上下各4个小花，它们和各自的十字交叉线接近相切。如果你仔细观察，会发现只有上图右上角的花是真的相切上去，而其他的还留有很小但是很清晰的相离的缝隙！

怎么样，魔术的世界，是不是处处都有意想不到的惊喜？

好了，彩蛋讲完了，我们进入今天文章的正题。

对称原理的魔术结构

上一篇的魔术《对称找牌》的原理就真的是在用几何对称性，不过我早就说过，群论不仅可以用来描述几何对称，还有很多抽象的对称性，它们更隐蔽，但制造的效果却更加迷人！

所以，从这一篇开始，我们要讲一个和对称，群论相关的新的系列的魔术。这个系列魔术的特点是，有很多利用操作的合理性的对称，即无论怎么做都合理，以至于魔术师轻而易举选择到了multi-outs里刚好能够符合魔术需要的那个结局。而能够做到这一切的原因，都来自于各个操作合理性的对称性，在无差别合理的情况下，得到了观众眼中的奇迹。

用状态机的语言来描述就是，在q状态下，对任意操作f，其属性t结果为t(f(q))，存在其镜像状态q'上的操作f'以及属性t'的结果为t'(f'(q'))，使得函数F = t(f(q)) == t'(f'(q')) = 1成立，且q -> q'对应关系的值域里的元素都具有合理性，也就是关于操作的合理性是对称不变的。

任意操作是观众自由度的体现，而存在的操作f'在一定宏观意义上是对操作结果的合理性对称的，即是一个要么很隐蔽不被察觉的动作，要么是一个看起来怎么做都很合理，如果不都做一遍你根本不知道这是multi-outs的不同结果。应用这个逻辑有一系列的魔术作品，有的是真的以这个对称性质为核心的，而有的则是用这个性质画龙点睛，去完成魔术设计的最后一步。

今天要给大家介绍的作品，也是这个系列的第一个，是我学了对称和群论以来，第一个震撼到我的奇迹，然后又学习和总结了很多内核相似，但表现同样惊人的作品。不过我还是想把这个最初的感动先分享给你，再把秘密一一揭开。

Tic-tac-toe的奇迹

先看视频。

视频1 Tic-tac-toe的奇迹

这个魔术最开始是在youtube上看到的，然后不久以后便有了相关的正版盗版道具，大型的小型的都有，也优秀地成为了各路商演神器。魔术表演方法上没什么多说的，这是典型的原理大于表演的作品，靠的是这真的是一个好的魔术作品。

说实话，最开始发现这个原理的时候我是很惊诧的，怎么世界上还能有这么巧合的事？那种美妙的感觉真的让我难以忘怀，直到后来我花了很长时间来学习对称和群的相关数学结构知识，才一点点把这个问题吃透了，更爱了。

首先我说明一下下法，在大道具版本的“井字游戏”里，由于对每一块棋子的顺序也都有要求，且其解是没有翻转对称选项的，因此必须控制在C4的4个旋转解内，其下法也会更加固定，大家感兴趣可以去购买相应道具玩。

我这里的版本，操作起来更简单。我们用圈圈，除了第一个下中间以外，后面的每一次下都保持一个原则就行了：一定要形成越过中心的斜着或者横竖的有且仅有的一种听三张。也就是说，你要一直引着对方走，同时绝不形成必胜的双听牌，也不让对方成牌。

总之你要真的去形成平局，不能给机会赢，自己也不要赢的机会。这样，得到平局以后，这个平局一定是一个给定的D4群中的一个，恰好可以由唯一答案经过旋转90度和翻转的操作来完全重合。

上面是一个可行的形成平局的策略，道具里则可以限定到C4的范围里，是一个更严格的策略。

然而我只是在很多次的操作中发现，我总是能控制棋局的结果是平局，并没能够真的证明它。另外，为何最终的平局结果一定都在一个平局的D4变换内呢？

Tic-tac-toe的平局结果的D4群结构证明

这两个问题我们一个个来说。

我们先来证明一下，为什么平局一定在这个D4群对应的集合里。

首先，考虑过中心的4条仅仅交与中心圈的三连线。不算中间的圈，每一根线都必然是一圈一叉。用反证法证之，否则，两个圈会赢，两个叉则导致剩下的两个差叉分配给剩下三根线必然有一根没有叉，差叉还是会输。

故只需要考虑圈选择这4条线中的哪4个方向放置就够了，先来考虑竖直和水平的两条，倾斜的两条同理。从对称的角度来讲，这两条垂直的边是等价的，代表其方向的圈的方向仅能选择任意一个夹角为90度的两个方向，显然，一共有C4的选择种数。倾斜边也一样。

但二者合在一起并不是自由的，给定垂直边方向以后，倾斜边仅有两种选择，它只能夹住没有被选择的某个方向，否则，又会形成贴合棋盘边缘的三连。

于是一共形成4 * 2种平局，而且4种由旋转可以生成，剩下一半，恰好是镜面反射的结果。二者的组合，把两个C4性质的生成图变成了D4，原因是他们内在的对称轴不重合，导致原本有的轴对称性消失掉，反而生成了新的图案，也因此，才需要引入翻转这个操作来囊括他们。其实也可以这么理解，垂直方向的两个圈决定了是C4群中的哪个方向，倾斜方向的两个方向决定了是否要翻转。

故最后的平局一定是其中一种，也在这个给定的D4棋局的范围内。

证毕。

最后大家不知道有没有看出来，这个所有圈圈的位置连起来，恰好是一个向前挥拳的小人。所以，对于下棋需要的最终平局目标，我们可以通过这个方式来记忆。也可以通过这个参照，来迅速寻找，我们拿着我们的结果面板的时候，到底要不要翻转，以及要进行多少度的旋转操作，以便真的能如我们对称魔术所期待的那样，是个每个操作都毫不犹豫而合理，但却找到了那个唯一存在的，能使最终的预言巧合般成立的操作。

不过我们还剩下最后一个问题，即我们给定的所谓策略一定能够保证平局吗？甚至一定能保证是C4中间的元素吗？如果可以，那我们的魔术才能在所有情况下都放心的进行，如果不能证明，那可能之前的成功都是因为运气罢了，可能在将来的某一天，就要接受失败的命运了。

数学人不允许有未证明就拿来使用的逻辑，下一篇我们就来看这个证明。

下期见！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！