离散数学1：数理逻辑

本文主要是介绍离散数学1：数理逻辑，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

逻辑规则给出数学语句的准确含义。

逻辑的基本成分——命题。

命题是一个非真即假的陈述句。命题的判断结果称作命题的真值，真值只有两种值：真、假。任何命题的真值都是唯一的。（真值不唯一的命题变元不是命题。）

• 简单命题（原子命题）：不能再被分解的命题
• 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题

注意：简单命题一定是肯定语气。

简单命题又称为命题常元。而命题变元不能确定真值，不属于命题。

判断是否是命题的方法：先判断是否为陈述句，再判断是否有唯一的真值。
注意：只需判断是否有唯一解即可，具体是真还是假并不重要。

• x > y (x,y是任意的两个数)
  不是命题, 是命题变元。由于x与y的不确定性, 使得该陈述句的真值不惟一。
• 明年今天是晴天
  是命题。尽管不知道真假，但可以确定的是 该语句只有一种真值。
• 我正在说假话
  该语句属于悖论，不是命题。

像这样由真能推出假、又由假能推出真，从而既不能为真，也不能为假的陈述句称作悖论。

将命题形式化

符号化时，p、q应设为简单命题（肯定句）。

逻辑联结词

注意：逻辑联结词表示的是命题与命题之间的关系。 整体上形成的是一个新的复合命题，给定每个原子命题的真值，那么该复合命题的真值随之确定。

• p的否定式（p不成立）—— $\neg p$
• p与q的合取式（p、q同时成立）—— $p\wedge q$

使用联结词$\wedge$需要注意两点：
其一是$\wedge$的灵活性。自然语言中的“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”等表示的都是两件事同时成立。因此都应该符号化为$\wedge$
其二，不要见到“与”、“和”就使用$\wedge$

• 小王和小李都是三好学生——可以符号化为$\wedge$
• 小王和小李是同学——不可以以符号化为$\wedge$
  该句中“小王和小李”整体是该命题的主语，因此仍是简单陈述句，属于一个原子命题

即：注意分清联结词“并且、和、与”联结的是句子成分，还是两个独立的句子，从而分清简单命题与复合命题。

• p与q的析取式（p、q至少有一个成立）—— $p\vee q$

析取联结词$\vee$与自然语言中的“或”不完全一样。自然语言中的“或”具有二义性，它有时具有相容性（即它联结的两个命题可以同时为真），有时又具有排斥性（只有当一个为真、一个为假时才为真），分别称之为“相容或”、“排斥或”。
“相容或”应符号化为$p\vee q$，“排斥或”应符号化为$(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q)$，也可符号化为$(p\vee q)\wedge \neg (p\wedge q)$（“排斥或”即“异或$⨁$”）

• 小明爱唱歌或爱听音乐
  属于“相容或”，因此符号化为$p\vee q$
• 小明只能挑选202或203房间
  属于“排斥或”，因此符号化为$(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q)$

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“相容或”$p\vee q$与“排斥或”$(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q)$的区别在于：当p与q同时为真时，相容或为真，排斥或为假。因此当p、q不能同时为真时，“相容或”与“排斥或”相同。

即：当客观事实上p、q不可能同时发生时，“排斥或”也可以符号化为$p\vee q$

例如：$p$：王冬生于1971年$，q：$王冬生于1972年

• p与q的蕴涵式（q是p的必要条件）—— $p\to q$
  规定$p\to q$为假当且仅当$p真q假$

自然语言中，q是p的必要条件有许多不同的叙述方式。例如：“只要p，就q”、“因为p、所以q”、“只有（除非）q，才p”、“p仅当q”、“q当p”…等，这些语句都应符号化为$p\to q$

描述	符号化
只有A，才B	$B\to A$
除非A，才B	$B\to A$
A仅当B	$A\to B$
A当B	$B\to A$
除非A，否则B	$\neg A\to B$

• p与q的等价式（p、q互为充要条件）—— p $\leftrightarrow q$
  也可以表示为$(p\to q)\wedge (q\to p)、(p\to q)\wedge (\neg p\to \neg q)$

例题：

1. 虽然2能整除4，但2不能整除5 —— $p\wedge \neg q$ （p：2能整除4，q：2能整除5）
2. 虽然他没上过大学，但是他自学成才 —— $\neg p\wedge q$ （p：上过大学，q：自学成才）
3. 除非4是奇数，否则5不是奇数 —— $\neg p\to \neg q$（p：4是奇数，q：5是奇数）
4. 种瓜得瓜，种豆得豆 —— $(p\to q)\wedge (r\to s)$
5. 经一事，长一智，且不经一事，不长一智 —— $(p\to q)\wedge (\neg p\to \neg q)$ 即 $p\leftrightarrow q$
6. 经一事，长一智，且不长一智，不经一事 —— $(p\to q)\wedge (\neg q\to \neg p)$ 即 $p\to q$
7. 根号5是无理数 —— p
8. 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了 —— $\neg r\to (p\to q)$（p：别人有困难，q：老王帮助别人，r：困难解决了）

当A为矛盾式时，$A\vee C\iff A\vee B$可以推出$B\iff C$;
当A为重言式时，$A\wedge C\iff A\wedge B$可以推出$B\iff C$.

命题公式

对命题公式的分析

公式的层次

• 若A为单个的命题变元或常元，则称A为$0$层公式
• 若B、C分别为$i、j$层公式，则
  • $A=\neg B$为$i+1$层
  • $A=B\wedge C$为$max(i,j)+1$层
  • $A=B\vee C$为$max(i,j)+1$层
  • $A=B\to C$为$max(i,j)+1$层
  • $A=B\leftrightarrow C$为$max(i,j)+1$层

注意：命题公式不是命题，其真值是不确定的。只有将公式中的所有命题变元用确定的命题带入时（称之为“赋值”、“解释”），才成为一个命题（真值确定）。这个命题的真值取决于所带入的这组命题的真值。

• 使命题公式为真的一组赋值——成真赋值
• 使命题公式为假的一组赋值——成假赋值、

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显然，含n个命题变元的命题公式有 2 ⁿ 组赋值

真值表

用真值表求成真赋值、成假赋值。

若一个公式含有$n$个命题变元和$k$个逻辑联结词，则真值表的规模为$2^n\times (k+n)$。
在列这$2^n$种赋值时，应从00…0开始，以二进制加法的顺序，依次写出每个赋值，直到11…1为止。


A为可满足式，即A至少存在一组成真赋值。

若公式A和公式B的真值表的最后一列相同，说明这两个真值表相同，即A与B是等值的。

等值演算

给定n个命题变元，由递归形成的命题公式是无穷多的，但在这些公式中，逻辑不同的的命题公式却是有限的，也即真值表的种数是有限的。
对于公式A，B，若等价式$A\leftrightarrow B$为重言式，则称A，B是等值的，记为$A\iff B$。即对于任意一组命题变元的取值，A、B的真值均相同。

可以通过比较真值表的最后一列来判断两个公式是否等值。

证明公式等值的另一个方法是：利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。

注意：用等值演算法可以验证两个公式等值，但不能直接用等值演算法验证两个公式不等值，不过可以先分别用等值演算法将两个公式化为容易观察真值的形式，再比较真值，只需找到一组成真赋值是另一个公式的成假赋值即可。

证明一个公式为重言式时，若该公式为非等价形式，则最终证明其等值于1。$p\iff ...\iff 1$；
若该公式为等价形式$p\leftrightarrow q$，则证明方式为: $p\iff ...\iff q$
证明一个公式为矛盾式，即证明该公式等值于0.

应用：
1，联结词完备集
同一个命题公式可用各种联结词构成无数种不同形式的等值公式，我们所使用的联结词有5个： { ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ } \{\neg,\land,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow\} {¬,∧,∨,→,↔}，我们也可以将现有的联结词扩充得更多, 但在不增加变元个数的前提下, 那些扩充实际上都没有意义, 因为它们都可以用现有的五个联结词来表示。那么这5个联结词就都是必要的吗？该联结词完备集中是否含冗余的联结词？
结论： { ¬ , ∧ } \{\neg,\land \} {¬,∧}， { ¬ , ∨ } \{\neg,\vee\} {¬,∨}是极小的联结词完备集。即仅使用两个联结词就可以表示所有的公式。

将已知的命题公式等值地化成给定的联结词完备集中的公式，所得的答案不唯一。

使用德摩根律实现合取和析取之间的转化。

题型：在某个联结词完备集中的形式——即将公式化为只含这些联结词的形式。

2，

主要思想为：将条件与结果符号化，形成一个命题公式：$条件\wedge 结果$，对该命题公式进行等值演算。

范式

把所有命题公式都规范化为一种统一的格式，这种规范的表达式能表达真值表所能提供的一切信息，以便于命题公式之间的比较。

简单析取式、简单合取式

将$p$和$\neg p$（p为命题变元）统称为文字.
仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.

• 一个简单合取式为矛盾式 当且仅当 它同时包含某个命题变元及其否定式，即该简单合取式中包含$p\wedge \neg p$
• 一个简单析取式为重言式 当且仅当 它同时包含某个命题变元及其否定式，即该简单合取式中包含$p\vee \neg p$

析取范式、合取范式

注意：

• 简单析取式、简单合取式 都 既是析取范式，也是合取范式。
  单个简单析取式既是由一个简单析取式构成的合取范式，也是由多个简单合取式构成的析取范式；
  单个简单合取式既是由一个简单合取式构成的析取范式，也是由多个简单析取式构成的合取范式。
• 一个析取范式为矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是 矛盾式
• 一个合取范式为重言式当且仅当它的每个简单析取式都是 重言式
• 析取范式、合取范式最多只有一层括号

范式存在定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。
即任意公式都可以化为析取范式或合取范式的形式。

将命题公式化为析取范式或合取范式，可以分为3步：

1. 消除公式中对{¬,∧,∨}来说冗余的联结词“→”和“↔”
   $$\begin{gathered} A\to B\iff \neg A\vee B \\ A\leftrightarrow B\iff (\neg A\vee B)\wedge (\neg B\vee A) \end{gathered}$$
2. 将“¬”向内深入到变元前面并消去多余的“¬”
   $$\begin{gathered} \neg \neg A=A \\ \neg (A\wedge B)\iff (\neg A\vee \neg B) \\ \neg (A\vee B)\iff (\neg A\wedge \neg B) \end{gathered}$$
3. 使用分配律将公式变为所需的范式，要根据所需要的结果利用分配律，消去嵌套的括号
   

利用以上3个步骤, 一定能求出公式的析取范式或合取范式, 但形式可能是多样的, 即公式的析取范式或合取范式是不惟一的。

主析取范式

极小项

首先将简单合取式标准化为极小项，再求公式的以极小项为简单合取式的析取范式, 即为主析取范式。

主析取范式存在惟一定理：任何命题公式的主析取范式都是存在的, 并且是惟一的。
由此，$A\iff B$当且仅当$A$与$B$有相同的主析取范式。

求主析取范式的一般方法：

1. 求出析取范式
2. 将析取范式中不是极小项的简单合取式转化为极小项

将简单合取式转化为极小项的方法：
若简单合取式A中不含命题变元r，则利用$$\begin{gathered} A\iff A\wedge 1\iff A\wedge (r\vee \neg r)\iff (A\wedge r)\vee (A\wedge \neg r) \\ \iff (A\wedge r_1\wedge r_2)\vee (A\wedge r_1\wedge \neg r_2)\vee (A\wedge \neg r_1\wedge r_2)\vee (A\wedge \neg r_1\wedge \neg r_2) \end{gathered}$$转化为了只含极小项的析取式。

3. 化简：将重复出现的命题变元、矛盾式及重复出现的最小项都消去
4. 将极小项按下标由小到大的顺序排列

若公式A中含有n个命题变元，A的主析取范式含s（0 ≤ s ≤ $2^n$）个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项下标的二进制表示，其余$2^n-s$个赋值都是成假赋值。

主合取范式

注意：

极小项	极大项
简单合取式	简单析取式
原型对应1，否定对应0	原型对应0，否定对应1
对应的二进制数为成真赋值，也是唯一的成真赋值	对应的二进制数为成假赋值，也是唯一的成假赋值

极小项的否定即极大项：$\neg m_i=M_i$
极大项的否定即极小项：$\neg M_i=m_i$

求主合取范式的一般方法：

1. 求出合取范式
2. 将合取范式中不是极大项的简单析取式化为极大项

将简单析取式转化为极大项的方法：
若简单析取式A中不含命题变元r，则利用$$\begin{gathered} A\iff A\vee 0\iff A\vee (r\wedge \neg r)\iff (A\vee r)\wedge (A\vee \neg r) \\ \iff (A\vee r_1\vee r_2)\wedge (A\vee r_1\vee \neg r_2)\wedge (A\vee \neg r_1\vee r_2)\wedge (A\vee \neg r_1\vee \neg r_2) \end{gathered}$$转化为了只含极大项的合取式。

3. 化简：将重复出现的命题变元、矛盾式及重复出现的最大项都消去
4. 将极大项按下标由小到大的顺序排序

主析取、合取范式的总结

牢记：
$$\begin{gathered} A\iff (A\wedge r)\vee (A\wedge \neg r)（主析取范式） \\ \iff (A\vee r)\wedge (A\vee \neg r)（主合取范式） \end{gathered}$$

在进行等值演算的过程中，若已发现该公式为重言式或矛盾式，则可直接写出该公式的主析取范式和主合取范式：

• 重言式的主析取范式即$2^n$个极小项都有，主合取范式为1；
• 矛盾式的主析取范式为0，主合取范式即$2^n$个极大项都有。

主析取范式中每个极小项都是其成真赋值；主合取范式中每个极大项都是其成假赋值。

由主析取范式求主合取范式：
例如若A中含有3个命题变元：$$\begin{gathered} A\iff m_1\vee m_2\vee m_3（主析取范式） \\ \iff M_0\wedge M_4\wedge M_5\wedge M_6\wedge M_7（主合取范式） \end{gathered}$$

在演算过程中，先求本题较容易求出的主合取范式（主析取范式），再根据合取、析取之间的转化，求出主析取范式（主合取范式）。

注意：

• 主析取范式为小写${}^{\prime }{m}^{\prime }$，原型为1，否定为0；
• 主合取范式为大写${}^{\prime }{M}^{\prime }$，原型为0，否定为1.

主析取范式实质上就是列举出了该公式所有的成真赋值，除此之外的赋值自然就是成假赋值；主合取范式实质上就是列出了该公式的所有成假赋值。因此主析取范式与主合取范式之间可以很方便的互求。
若两个公式的主析取范式（或主合取范式）相同，实际上也就是真值表相同，因此说明了这两个公式等值。
真值表与主析取（合取）范式是描述命题公式的两种等价的不同形式。
因此也可以由真值表求出主析取范式和主合取范式：真值表$\to$成真赋值/成假赋值$\to$主析取范式/主合取范式

含n个命题变元的主析取范式共有$2^{2n}$种。

这篇关于离散数学1：数理逻辑的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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