图算法之Weisfeiler-Lehman核

背景

在图分类的核算法中，Weisfeiler-Lehman(威斯费勒-莱曼)核是比较经典的核算法，这里我对它做一些整理。

参考文献Weisfeiler-Lehman Graph Kernels

定义

威斯费勒-莱曼图

在文章Weisfeiler-Lehman算法测试图同构中，我们可以看到，威斯费勒-莱曼同构测试算法对图G和G`的结点进行重标签时，只有当两个结点v和v`有相同的标签复合集，它们生成的新标签才一样。因此，我们可以认为对所有图进行标签压缩和重标签时，标签映射函数f都是一样的，定义为r((V, E, li)) = (V, E, l(i+1))，其中，V是图G的结点集，E是图G的边集，li和l(i+1)分别是威斯费勒-莱曼算法在第i次和第i+1次迭代时生成的标签集。

我们把(V, E, li)定义为高度为i的威斯费勒-莱曼图Gi，同时{G0, G1, ...., Gh} = {(V, E, l0), (V, E, l1), ..., (V, E, lh)}为高度(长度)为h的威斯费勒-莱曼序列，其中G0=(V, E, l0)为原始的图G。

可以看到，在迭代过程中，被改变的只是标签集l，结点集和边集没有变。

威斯费勒-莱曼核

威斯费勒-莱曼核的定义如下

其中，k为任意的正半定核，{G0, G1, ...., Gh}和{G`0, G`1, ...., G`h}分别为图G和图G`的威斯费勒-莱曼序列，长度均为h。

由于k是正半定的，所以威斯费勒-莱曼核也是正半定的。证明过程如下：

令Φ为核k对应的特征映射函数，则

由于Gi = r * G(i-1) = (r^2) * G(i-2) = .... = (r^i) * G0 = (r^i) * G，所以

为了简洁，令Φ((r^i)(G)) = Ψ(G)，那么有

所以k(Gi, G`i)是原图G和G`的函数，因此如果k是正半定的，那么威斯费勒-莱曼核作为k的累积和，肯定也是正半定的。

如果每个k(Gi, G`i)有一个非负实权重αi，那么可以得到更一般的威斯费勒-莱曼核，如下所示

由于k是关于G和G`的正半定函数，并且αi非负，而威斯费勒-莱曼核是ki的线性组合，所以威斯费勒-莱曼核依旧是正半定的。