无向图求桥（深大算法实验5）报告+代码

实验代码 + 报告资源：
链接: https://pan.baidu.com/s/1CuuB07rRFh7vGQnGpud_vg 
提取码: ccuq 

写在前面

期末终于算法课快要完结了。

这学期算法课可谓是最难顶的课程了，又正好是线上上课，提问互动的机会相对较少，老师上课抛砖引玉，实验内容又比较难，我花了大部分的时间在找算法，实现算法，改算法bug上。

我也参考过很多往届师兄的报告，但是大多都比较抽象晦涩，而且没有代码只讲方法，比较难以理解具体实现的细节。

所以我打算记录一下自己的报告+代码，前人coding后人copying ，希望让大家少走弯路。。。

注意：不要直接copy代码，这是冲塔行为！查重系统鲨疯辣。

问题描述

1. 桥的定义
   在图论中，一条边被称为“桥”代表这条边一旦被删除，这张图的连通块数量会增加。等价地说，一条边是一座桥当且仅当这条边不在任何环上。一张图可以有零或多座桥。
   
   

求解问题的算法原理描述

基准算法

穷举边并且删除这条边，然后计算连通分支数目，使用dfs计算连通分支数目


复杂度分析：其中 n为顶点数，e为边数
穷举删除的边需要e次，每次删除都要dfs判断连通分支数目，需要O(n+e)，复杂度O(e)
对于稀疏图（e=n），复杂度为O(n2)
对于稠密图(e=n2)，复杂度为O(n4)

分别使用稀疏图和稠密图测量其运行时间，其中横坐标是顶点数n，纵坐标是运行时间


可以看到稀疏图中，基准法符合O(n2)的复杂度，而稠密图中，基准法符合O(n4)的复杂度

基准法+并查集

和基准法思路相同，通过删除边并计算连通分支数目来查找桥，只是计算连通分支时使用并查集而不是dfs

并查集计算连通分支数目：
枚举边，对每个边上的两点v1和v2，查询v1和v2所属的集合f1,f2，如果v1和v2不在同一个集合则合并v1和v2所属的两个集合，最后统计集合的个数，即为连通分支数目

使用路径压缩策略，使得并查集的查询复杂度均摊下来为O(1)


复杂度分析：其中 n为顶点数，e为边数
穷举删除的边需要e次，每次删除都用并查集判断连通分支数目，需要O(e)，复杂度O(e)
对于稀疏图（e=n），复杂度为O(n2)，对于稠密图(e=n2)，复杂度为O(n4)

可以看到稀疏图中，算法符合O(n2)的复杂度，而稠密图中，算法符合O(n4)的复杂度

引入生成树优化

因为桥边一定会出现在生成树上，所以对于基准法，我们只需要枚举生成树上的边，而不需要枚举所有的边，一样能找到答案

生成树优化能够使得枚举边的代价从O(e)变为O(n)，我们可以利用这个特性优化基准法

基准法+生成树优化
生成树优化能够使得枚举边的代价从O(e)变为O(n)，对于稀疏图，复杂度为O(n2)，对于稠密图，复杂度为O(n3)

可以看到在图像和数据上，稀疏图的情况下算法时间复杂度符合O(n2)增长，在稠密图的情况下算法的时间复杂度符合O(n3)增长

基准法+并查集+生成树优化

生成树优化能够使得枚举边的代价从O(e)变为O(n)，对于稀疏图，复杂度为O(n2)，对于稠密图，复杂度为O(n3)


可以看到在图像和数据上，稀疏图的情况下算法时间复杂度符合O(n2)增长，在稠密图的情况下算法的时间复杂度基本符合O(n3)增长

Lca求环边求桥

逆向思维：我们不去主动找桥，因为定义【一条边是一座桥当且仅当这条边不在任何环上】，我们把环边找出来，然后剩下的不是环边的边，就是桥了

引入lca问题：最近公共祖先
最近公共祖先，顾名思义即两个节点的最近的能找到的公共的祖先

先利用dfs建立生成树，对于图中那些不在生成树上的边，我们叫它【重边】

对于重边上的两点v1和v2，我们找v1和v2的最近公共祖先，并且把从v1和v2出发，到他们的最近公共祖先的路径上的边，全部标记为环边

dfs配合并查集求解lca问题：
lca[x]表示集合x最高顶点的编号，father[]为并查集数组

收集所有lca查询并且使用dfs建立生成树，然后按照生成树顺序对图做dfs

每次递归开始前：x节点自成一个集合

递归所有子树

一个子树递归结束：将子树并到x节点集合

x所有子树递归结束时：遍历和x有关的查询，并尝试回答这些查询

假设查询为 (x, y) 如果y节点及其所有子树已经完成递归，那么答案是y所在的集合的最高点编号，如果y未完成所有的递归，那么先搁置这个查询（等一下y完成递归的时候会再次尝试回答）

ps:这里lac[x]其实就是father[x]


复杂度分析：
以dfs为模板求lca的时间复杂度是O(n+e+q)其中q为查询次数，对于稀疏图，查询次数q为n，对于稠密图，查询次数q为n2，因为除了生成树上的n-1条边，其他的都要查询

对于每个查询，都需要沿着生成树，往回找他们的最近公共祖先，并且标记沿途的边，这个操作的时间复杂度是不确定的，但是其上界是O(n)，因为走完所有的顶点，故整个算法的时间复杂度上界是：稀疏图O(n2)，稠密图O(n3)

可以看到在图像和数据上，稀疏图的情况下算法时间复杂度符合O(n2)增长，在稠密图的情况下算法的时间复杂度基本符合O(n3)增长

Lca求环边：路径压缩策略

注：
这里的最近公共祖先算法好像有点问题，根据大佬反应，情况如下：

---

如果一开始重边里的两个点的祖先就是一样的情况 跑当时老师给的小数据集跑出了和蛮力法不一样的效果（就是蛮力法是没有桥的但是压缩出现了桥） 加上这个条件后就对了

我当时做的时候好像没有注意到这个情况。。。总之就开始的时候是多一步判断两个点的 father 是不是一样的特殊判断

如图，因为边非常多，我们有时候可能会走很多冤枉路

我们在沿着生成树向上找lca的时候，找到lca并记录它，然后不妨将路径上的所有节点挂到lca上面（即查找的终点），表示该点和lca点之间的路径被记录过了，在下次向上查找的时候，我们就会直接跳到lca上，不必走冤枉路

Lca+路径压缩：复杂度分析：
因为加入了路径压缩策略，和并查集类似，我们最多把n个顶点挂到父节点上面，每次找路径都要挂，总共找e次路径，均摊下来使得找路径的复杂度为O(1)，于是我们算法的复杂度变为：稀疏图：O(e)*O(1) = O(n) 稠密图：O(e)*O(1) = O(n2)

注：我们也可以直接将环边上的两个点先调整至同一高度，然后一起向上找公共祖先，然后找到后再沿路标记环边。不必像上面所说的那样先找lca再标记。这样更快

/*	*	@function bridge_bcj_lca : lca求环边 + 路径压缩 *	@explain 			     : ---- */
int tcnt=0;
void bridge_bcj_lca2()
{init_all();// 生成生成树 for(int i=0; i<n; i++) if(vis[i]==0) dfs_getTree_relation_dep(i, i, 0); visit_init();for(int i=0; i<n; i++) tree_edges.insert(vector<int>{tree[i],i});for(int i=0; i<edges.size(); i++){if(tree_edges.find(edges[i])==tree_edges.end()){int p1=edges[i][0], p2=edges[i][1], pre,pre1,pre2;cir_edges.insert(vector<int>{p1, p2});	// 标记边 if(depth[p1]<depth[p2]) swap(p1, p2);	// 默认p1为深的点 while(depth[p1]>depth[p2]) 				// 同步高度 pre1=p1,p1=tree[p1],cir_edges.insert(vector<int>{pre1, p1});while(tree[p1]!=tree[p2])				// 找lca {pre1=p1, pre2=p2;p1=tree[p1], p2=tree[p2];cir_edges.insert(vector<int>{pre1, p1});cir_edges.insert(vector<int>{pre2, p2});}// 压缩策略 沿途将路径上所有点挂到lca上 int lca = tree[p1];p1=edges[i][0], p2=edges[i][1];while(tree[p1] != lca){int pf = tree[p1];tree[p1] = lca;depth[p1] = depth[lca] + 1;p1 = pf;}while(tree[p2] != lca){int pf = tree[p2];tree[p2] = lca;depth[p2] = depth[lca] + 1;p2 = pf;}//tcnt++;	// 调试进度 // if(tcnt%100000==0) cout<<tcnt<<endl;}}/*for(int i=0; i<e; i++)if(cir_edges.find(edges[i])==cir_edges.end())cout<<edges[i][0]<<" -- "<<edges[i][1]<<" 是桥"<<endl;*/
}

Lca+路径压缩：时间测试：



可以看到算法在稀疏图下的复杂度和我们预想的一样保持在O(n)，稠密图则为O(n2)

Tarjan（塔扬）算法直接求桥：

Tarjan算法基于dfs，一次dfs即可求解问题。

在一次dfs中维护两个数组，分别是dfn[]即深度优先数，和min_ancestor[]即最小可达祖先

dfn[]数组描述了dfs进行的顺序，而min_ancestor[x]则记录了x及其所有子孙节点能够到达的【dfn值最小的祖先节点（不包括x的直接父节点）】的dfn数值

如果一条边的两个顶点v1和v2，满足dfn[v1] < min_ancestor[v2]，那么这条边是桥

可以显然的从定义得知这个事实：因为除了和x相连的边，没有任何途径可以到达x之前的节点（体现在最小可达祖先大于x直接父节点的dfn值），也就是说x是唯一通路，是桥

图片描述：


Tarjan算法时间复杂度分析：
共需要一次dfs，故稀疏图中复杂度为O(n)，稠密图中复杂度为O(n2)

总览

（注：tarjan算法在这个规模过于快了，以至于测出来都是0或者0.0001不好对比）

结论：

稀疏图
复杂度：
Tarjan = lca+压缩 < lca = 基准+生成树 = 基准+并查集+生成树 = 基准 = 基准+并查集

用时：
Tarjan < lca+压缩 < lca < 基准+生成树 = 基准+并查集+生成树 = 基准+并查集 = 基准

稠密图
复杂度：
Tarjan = lca+压缩 < lca = 基准+生成树 = 基准+并查集+生成树 < 基准 = 基准+并查集

用时：
Tarjan < lca+压缩 < 基准+生成树 = 基准+并查集+生成树 < lca < 基准+并查集 = 基准

结论：

1. 一次dfs解决，tarjan（塔扬）算法是最快的算法
2. 引入路径压缩的lca第二快（复杂度低），但是操作语句较为繁琐所以慢于tarjan
3. Lca求环边和带生成树优化的基准法远远地快于普通基准法
4. Lca求环边在边情况少的图中速度远远快于基准法，而在稠密图中，慢于基准法+生成树优化，虽然同为O(n3)的复杂度，但是因为代码的语句数量明显增多（先生成生成树，然后反选重边，然后查询重边的lca，递归沿着路径标记环边，然后通过环边反选桥），而且使用多种复杂的数据结构，比如并查集，哈希set，vector，并且沿着环边标记路径使用的是递归操作，导致算法的常数开销过大，在边多的情况下，不理想
5. Lca求环边在稠密图中达到最坏情况，即复杂度上限O(n3)，从图中曲线也可以看出
6. 基准法用并查集计算连通分支数目，虽然有路径压缩策略，但总体执行语句数量多于dfs法，因此代码的常数开销过大，导致并查集慢于dfs，但其实它们拥有相同的复杂度

给定数据测试

在测试数据样例和mediumDG中测试时间，因为规模过小导致时间不好测量

在largeG里面测试，只有lca+压缩和tarjan可以跑完整个过程，但是因为tarjan算法代码实现和语句较为简单，而相对来说lca+压缩语句比较复杂，所以很慢

Lca+压缩，用到较多的复杂数据结构，并且未使用任何针对C++STL的编译优化，所以是代码常数开销很大慢于tarjan

总结：
并查集数据结构要尽量使用路径压缩策略，能够大大加快查询的速度
在求解大规模问题的时候尽量选择简单的数据结构
编写代码时要注意代码语句不能过长，否则同样复杂度的算法，执行用时会有差距
在大规模递归的时候要修改编译器的栈空间，否则数据容量一大，容易爆栈

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;/**	@edge_hash : 边哈希函数 哈希set反取边及去重用 */
struct edge_hash
{size_t operator () (const vector<int> e1) const{int aa=(e1[0]<e1[1])?(e1[0]):(e1[1]