【论文阅读】Virtual Adversarial Training: a Regularization Method for SL and SSL

《Virtual Adversarial Training: a Regularization Method for Supervised and Semi-supervised Learning》

1. 摘要

We propose a new regularization method based on virtual adversarial loss: a new measure of local smoothness of the
output distribution. Virtual adversarial loss is defined as the robustness of the model’s posterior distribution against local perturbation
around each input data point. Our method is similar to adversarial training, but differs from adversarial training in that it determines the
adversarial direction based only on the output distribution and that it is applicable to a semi-supervised setting. Because the directions
in which we smooth the model are virtually adversarial, we call our method virtual adversarial training (VAT).

我们提出了一种基于虚拟对抗损失的新正则化方法：一种新的输出分布局部平滑度度量。虚拟对抗损失被定义为模型的后验分布对每个输入数据点周围的局部扰动的鲁棒性。我们的方法类似于对抗训练，但与对抗训练的不同之处在于它仅根据输出分布确定对抗方向，并且适用于 半监督 设置。因为我们平滑模型的方向是虚拟对抗性的，所以我们将我们的方法称为虚拟对抗性训练 (VAT)。

2. 前置知识

这里我想在宏观上理清现在论文的思路。一致性正则化(Consistency Regularization)，我们可以理解为如果对一个未标记的数据应用实际的扰动，则预测不应发生显著变化。实际上，一致性正则化是让拟合的函数平滑，在函数的邻域(扰动)内函数值值不会有太大的波动。其中，针对扰动就有不同的方向，对输入值的扰动(LadderNet)，对模型的扰动(MeanTeacher)。其中，这两个方向不是独立的，存在在一个方法存在两个的情况。比如说，$\Pi$ Model通过对输入值增强，可以相当于是一次对输入值的扰动，而在模型本身存在Dropout，所以也存在对模型的扰动。这其中，还有一个很特立独行的方向。我们上面谈到了扰动，其中扰动是有好坏的，也就是说对输出值的影响程度。比如说，对于输入值$X_i$，模型的输出值是$\widehat{y_i}$，但是现在当我们对输入值进行一次扰动时，$\widetilde{X_i}=X_i+{\eta }_i$，模型输出变成了$\widetilde{y_i}$。我们期望的是模型对于两次输出是一样的，或者说相差不大。值得注意的是，这其实与所加扰动是相关的，扰动有好坏之分。也就是论文中提到的扰动是有方向性的。而对输入添加这种优质的扰动之后，模型输出显著变化，这种就是对抗样本。我们使用对抗样本进行训练，就变成了对抗训练。

前面的理解是从论文中的思路出发的。我其实还有一个标新立异的方向。相比于监督学习，半监督学习想要利用没有标签的数据，其中有种思路就是在优化目标种加入无监督损失。怎么定义这个损失？，这些论文其实是在回答这个问题。这个其实和强化学习种的策略梯度（Policy Gradient）有异曲同工之妙。

3. 符号系统

4. 方法

4.1 Adversarial Training

这个概念是出自大佬的论文《EXPLAINING AND HARNESSING ADVERSARIAL EXAMPLES》。

$$L_{adv}(x_l,y_l,\theta ):=D[h(y_l),p(y|x_l+r_{adv},\theta )]\text{\hspace{1em}(1)}$$
where $$r_{adv}:=\underset{r;\Vert r\Vert \le ϵ}{\mathrm{argmax}}D[h(y_l),p(y|x_l+r,\theta )]\text{\hspace{1em}(2)}$$

体会：$D$可以理解为损失计算函数。式子1，2总体思想是使用对模型扰动最大的扰动对模型进行训练，这个就被称为是对抗训练。

上面的式子有个问题，实际问题中式子2很难求解。推出式子3，线性逼近。

$$r_{adv}\approx ϵ\frac{g}{\Vert g{\Vert }_2},\text{where}g={\nabla }_{x_l}D[h(y_l),p(y|x_l,\theta )]\text{\hspace{1em}(3)}$$
这个理解为普通的反向传播就很好理解了，$ϵ$理解为学习率。

这里还有一个变化，就是当式子3中的范数变成$L_{\infty }$。
$$r_{adv}\approx ϵ\text{sign}(g)$$
Notice: 这里的$\text{sign}$不太确定是不是一个已有的函数。

4.2 Virtual Adversarial Training

相比于Adversarial Training，Virtual Adversarial Training（下文称VAT）意在接触对数据真实标签的依赖。Loss Function可以被写为：

$$D[q(y|x_{\ast }),p(y|x_{\ast }+r_{qadv},\theta )]\text{\hspace{1em}(4)}$$
where $$r_{qadv}:=\underset{r;\Vert r\Vert \le ϵ}{\mathrm{argmax}}D[q(y|x_{\ast }),p(y|x_{\ast }+r,\theta )]\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中，$q(y|x_{\ast })$在本文中用模型的本次预测替代，也就是说$q(y|x_{\ast })=p(y|x_{\ast })$

$$LDS(X_{\ast },\theta ):=D[p(y|x_{\ast },\hat{\theta }),p(y|x_{\ast }+r_{vadv},\theta )]\text{\hspace{1em}(6)}$$
where $$r_{vadv}:=\underset{r;\Vert r\Vert \le ϵ}{\mathrm{argmax}}D[p(y|x_{\ast },\hat{\theta }),p(y|x_{\ast }+r,\theta )]\text{\hspace{1em}(7)}$$

Notice: 这里$\hat{\theta }$在原文中没有明说，我理解的是模型当前的参数，应该涉及到后面的反向传播，这里区分是相当于一个常数，不参与反向更新。

最后是整个Loss：
$$\ell ({\mathcal{D}}_l,\theta )+\alpha {\mathcal{R}}_{vadv}({\mathcal{D}}_l,{\mathcal{D}}_{ul},\theta )\text{\hspace{1em}(8)}$$
where
$${\mathcal{R}}_{vadv}({\mathcal{D}}_l,{\mathcal{D}}_{ul},\theta ):=\frac{1}{N_l+N_{ul}}\sum _{x_{\ast }\in {\mathcal{D}}_l,{\mathcal{D}}_{ul}}LDS(X_{\ast },\theta )\text{\hspace{1em}(9)}$$

等式5中，关于$r$的计算在实际算法中不能这样暴力求解，所以本次论文中关于这个问题进行了推导，我这里就不重述了，直接说结论，有兴趣的可以看论文。

$$r_{vadv}\approx ϵ\frac{g}{\Vert g{\Vert }_2},\text{where}g={\nabla }_{r}D[p(y|x,\hat{\theta }),p(y|x+r,\hat{\theta })]{|}_{r=ϵd}\text{\hspace{1em}(3)}$$

5. 代码

# D, 计算两个分布的KL散度
def kl_div_with_logit(q_logit, p_logit):q = F.softmax(q_logit, dim=1)logq = F.log_softmax(q_logit, dim=1)logp = F.log_softmax(p_logit, dim=1)qlogq = ( q *logq).sum(dim=1).mean(dim=0)qlogp = ( q *logp).sum(dim=1).mean(dim=0)return qlogq - qlogp# 求解单位向量 $\frac{g}{\|g\|_2}$
def _l2_normalize(d):d = d.numpy()d /= (np.sqrt(np.sum(d ** 2, axis=(1, 2, 3))).reshape((-1, 1, 1, 1)) + 1e-16)return torch.from_numpy(d)def vat_loss(model, ul_x, ul_y, xi=1e-6, eps=2.5, num_iters=1):# 一个正态分布的随机变量， size=ul_x.size()d = torch.Tensor(ul_x.size()).normal_()# find r_adv, num_iters在原文中等于一就很好了for i in range(num_iters):d = xi *_l2_normalize(d)d = Variable(d.cuda(), requires_grad=True)y_hat = model(ul_x + d)delta_kl = kl_div_with_logit(ul_y.detach(), y_hat)delta_kl.backward()# 值得注意的是，这里仅仅是执行了backward计算反向梯度，没有执行step反向更新。# 获得d的梯度d = d.grad.data.clone().cpu()# 清空模型的梯度model.zero_grad()# 获得d的单位向量d = _l2_normalize(d)d = Variable(d.cuda())r_adv = eps * d# compute ldsy_hat = model(ul_x + r_adv.detach())delta_kl = kl_div_with_logit(ul_y.detach(), y_hat)return delta_kl