闵可夫斯基和学习笔记+洛谷4557 JSOI2018游戏 （闵可夫斯基和+凸包）

自闭了一上午。
sro Creed orz
sro suncongbo orz
真的无敌

首先，在做这个题之前，先来介绍闵可夫斯基和的相关知识，$minkowskisum$是两个欧几里得空间的点集的和。
假设我们定义两个点集$A$和$B$的闵可夫斯基和表示为点集$C(a+b|a\in A,b\in B）$
其实就是点集中的点两两做和，然后构成一个新的点集。
这里我们讨论凸包的闵可夫斯基和

一个比较显然的性质就是，两个凸包的闵可夫斯基和还是一个凸包

搬了一个网上的图。
暴力的复杂度是$O(n^2)$的，我们考虑怎么优化这个东西。
一般的做法都是这样的，我们观察上图，不难发现，可以直接把原来两个凸包上的所有的向量，按照逆时针方向全部拎出来，然后按照极角（从x的正半轴开始的极角）排序，顺次加入即可。

这样复杂度是$O(nlogn)$的

bool cmp1(Point a,Point b)
{int x = get(a),y=get(b);if (x!=y) return x>y;if(chacheng(a,b)>=0) return 1;else return 0;
}void minkowski()
{lyf[1]=x[1]+y[1];cnt=1;sort(l+1,l+1+tmp,cmp1);for (int i=1;i<=tmp;i++) ++cnt,lyf[cnt]=lyf[cnt-1]+l[i];cnt--;ymh=lyf[1];
}

这里这个$cmp$函数还是要注意一下的，因为对于$y$的正负不同的，要优先是正的。

那么现在我们该如何判断一个点是不是在凸包内部呢？

这时候考虑二分，找到这个点对应的极角最近的两个点，然后判断这个点和那两个点的向量之间的位置关系，如果是在$lyf[pos]\to lyf[pos+1]$左边，那么就是合法，否则就是不合法

还需要特判一下这个点是不是在最左下角的点的左下的位置，如果是在左下，还是不合法的。

bool erf(Point nyd)
{if (chacheng(lyf[cnt]-lyf[1],nyd-lyf[1])>0 || chacheng(lyf[2]-lyf[1],nyd-lyf[1])<0) return 0;int l=1,r=cnt;int pos=0;while (l<=r){int mid = l+r >> 1;if (chacheng(lyf[mid]-ymh,nyd-ymh)>0 || (chacheng(lyf[mid]-ymh,nyd-ymh)==0 && dis(lyf[mid],ymh)<=dis(nyd,ymh))) pos=mid,l=mid+1;else r=mid-1; }
//	cout<<pos<<endl;if (chacheng(lyf[pos+1]-lyf[pos],nyd-lyf[pos])>=0) return 1;else return 0;
}

那么回到这个题

我们发现，把题目转化之后，实际上就是对于每一个询问，求将点集$b$平移$(dx,dy)$这个向量之后，是否和点集$a$是有交的。

首先，不难发现，如果存在交点，那么一定是和凸包上的点有关系的，就可以忽略内部的点，我们不妨先对于两个点集求一个凸包。

那我们令$p$表示$(dx,dy)$
那么如果存在交点，那么存在一个点满足
$b+p=a$
$p=a+(-b)$

可以看出，这是一个闵可夫斯基和的形式，那么我们对于$A$和$B$（所有点的横纵坐标都取负）求一个闵可夫斯基和，然后看一看这个$p$是否是在新形成的凸包里面，如果在，说明至少存在一个交点。即可，总的来说细节真的很多。

qwq
包括闵可夫斯基和的起始点和排序之类的过程。

直接给代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
const int maxn = 4e5+1e2;
const int inf = 1e9;
struct Point{int x,y;
};
struct Line
{Point x,y;
};
Point a[maxn],b[maxn];
int n,m,q;
int numx,numy;
Point ymh;
Point st[maxn];
Point x[maxn],y[maxn];
Point lyf[maxn];
Point l[maxn];
int tmp1;
int tmp,top;
int cnt=0;
Point operator + (Point a,Point b)
{return (Point){a.x+b.x,a.y+b.y};
}
Point operator - (Point a,Point b)
{return (Point){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
Line count(Point x,Point y)
{return (Line){x,y};
}
int chacheng(Point a,Point b)
{return a.x*b.y-a.y*b.x;
} 
int dis(Point a,Point b)
{Point now = a-b;return now.x*now.x+now.y*now.y;
}
bool cmp(Point a,Point b)
{int now = chacheng(a-ymh,b-ymh);if(now>0) return 1;if(now<0) return 0;else{int d1 = dis(a,ymh);int d2 = dis(b,ymh);return d1<d2; }  
}
void solve(int n)
{int mn = inf,pos=0;for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i].y<mn ||(a[i].y==mn && a[i].x<a[pos].x)) mn=a[i].y,pos=i;swap(a[pos],a[1]);ymh=a[1];sort(a+1,a+1+n,cmp);a[n+1]=a[1];top=1;st[top]=a[1];for (int i=2;i<=n+1;i++){while(top>1 && chacheng(st[top]-st[top-1],a[i]-st[top-1])<=0) top--;st[++top]=a[i];}for (int i=1;i<top;i++) l[++tmp]=st[i+1]-st[i];for (int i=1;i<top;i++) x[++numx]=st[i];
}
void solve1(int n)
{int mn = inf,pos=0;for (int i=1;i<=n;i++) if (b[i].y<mn || (b[i].y==mn && b[i].x<b[pos].x)) mn=b[i].y,pos=i;swap(b[pos],b[1]);ymh=b[1];sort(b+1,b+1+n,cmp);b[n+1]=b[1];top=1;st[top]=b[1];for (int i=2;i<=n+1;i++){while(top>1 && chacheng(st[top]-st[top-1],b[i]-st[top-1])<=0) top--;st[++top]=b[i];}for (int i=1;i<top;i++) l[++tmp]=st[i+1]-st[i];for (int i=1;i<top;i++) y[++numy]=st[i];
}
int get(Point a)
{return a.y>=0;
}
bool cmp1(Point a,Point b)
{int x = get(a),y=get(b);if (x!=y) return x>y;if(chacheng(a,b)>=0) return 1;else return 0;
}
void minkowski()
{lyf[1]=x[1]+y[1];cnt=1;sort(l+1,l+1+tmp,cmp1);for (int i=1;i<=tmp;i++) ++cnt,lyf[cnt]=lyf[cnt-1]+l[i];cnt--;ymh=lyf[1];
}
bool erf(Point nyd)
{if (chacheng(lyf[cnt]-lyf[1],nyd-lyf[1])>0 || chacheng(lyf[2]-lyf[1],nyd-lyf[1])<0) return 0;int l=1,r=cnt;int pos=0;while (l<=r){int mid = l+r >> 1;if (chacheng(lyf[mid]-ymh,nyd-ymh)>0 || (chacheng(lyf[mid]-ymh,nyd-ymh)==0 && dis(lyf[mid],ymh)<=dis(nyd,ymh))) pos=mid,l=mid+1;else r=mid-1; }if (chacheng(lyf[pos+1]-lyf[pos],nyd-lyf[pos])>=0) return 1;else return 0;
}
signed main()
{n=read(),m=read(),q=read();for (int i=1;i<=n;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read();  for (int i=1;i<=m;i++) b[i].x=-read(),b[i].y=-read();q=13;solve(n);solve1(m);minkowski();for (int i=1;i<=q;i++){Point nyd;nyd.x=read();nyd.y=read();cout<<erf(nyd)<<"\n";}return 0;
}