【Matlab】智能优化算法_飞蛾扑火优化算法MFO

1.背景介绍

蛾是一种奇特的昆虫，与蝴蝶科非常相似。基本上，自然界中有超过160000种这种昆虫。它们一生中有两个主要的里程碑：幼虫和成虫。幼虫在茧中变成蛾子。

关于飞蛾最有趣的事实是它们在夜间的特殊导航方法。它们已经进化成可以利用月光在夜间飞行。他们利用一种称为横向定向的机制进行导航。在这种方法中，飞蛾通过相对于月球保持固定角度飞行，这是一种非常有效的直线长距离飞行机制。图1显示了横向方向的概念模型。由于月亮离飞蛾很远，所以这种机制可以保证直线飞行。同样的导航方法也可以由人类完成。假设月亮在天空的南边，一个人想去东方。若他走路时把月亮放在左边，他就能沿着一条直线向东移动。

尽管横向定向很有效，但我们通常观察到蛾类在灯光周围盘旋飞行。事实上，飞蛾被人造光欺骗，并表现出这种行为。这是由于横向定向的低效性，其中只有当光源非常远时，横向定向才有助于沿直线移动。当飞蛾看到人造光时，它们会试图和光保持相似的角度，以直线飞行。

然而，由于与月球相比，这种光线非常接近，因此与光源保持相似的角度会导致蛾类无用或致命的螺旋飞行路径。这种行为的概念模型如图2所示。在图2中可以观察到，蛾最终会向光会聚。

2.数学模型

在所提出的MFO算法中，假设候选解是蛾，并且问题的变量是蛾在空间中的位置。因此，蛾类可以通过改变其位置向量在一维、二维、三维或超维空间中飞行。由于MFO算法是基于种群的算法，因此蛾的集合在矩阵中表示如下：

其中n是蛾的数量，d是变量的数量（维度）。

对于所有蛾，我们还假设有一个数组用于存储相应的适应度值，如下所示：

其中n是蛾的数量。

注意，适应度值是每个蛾的适应度（目标）函数的返回值。每个蛾的位置矢量（例如矩阵M中的第一行）被传递给适应度函数，并且适应度函数的输出被分配给相应的蛾作为其适应度值（例如矩阵OM中的OM1）。

该算法的另一个关键组成部分是火焰。类似于蛾类基质的基质被认为如下：

其中n是蛾的数量，d是变量的数量（维度）。

从等式（3.3）中可以看出M和F阵列的尺寸相等。对于火焰，还假设有一个用于存储相应适应度值的数组，如下所示：

其中n是蛾的数量。

这里需要注意的是，飞蛾和火焰都是解决方案。它们之间的区别在于我们在每次迭代中处理和更新它们的方式。飞蛾是在搜索空间中移动的实际搜索代理，而火焰是迄今为止飞蛾获得的最佳位置。换句话说，火焰可以被认为是飞蛾在搜索空间时掉落的旗帜或大头针。因此，每只蛾都会在旗帜（火焰）周围搜索并更新，以寻找更好的解决方案。有了这种机制，飞蛾永远不会失去最佳解决方案。

MFO算法是近似优化问题的全局最优的三元组，并定义如下：

I是一个生成蛾类随机种群和相应适应度值的函数。该功能的系统模型如下：

P函数是主要函数，它在搜索空间中移动飞蛾。该函数接收M的矩阵，并最终返回更新后的矩阵。

如果满足终止标准，则T函数返回true，如果不满足终止标准则返回false：

对于I、P、T，MFO算法的一般框架定义如下：

函数I必须生成初始解并计算目标函数值。任何随机分布都可以用于此函数。默认情况下使用以下方法：

可以看出，还有另外两个数组称为ub和lb。这些矩阵定义了变量的上界和下界，如下所示：

其中ubi表示第i个变量的上界。

其中lbi表示第i个变量的下界。

在初始化之后，迭代地运行P函数，直到T函数返回true。P函数是在搜索空间中移动飞蛾的主要函数。如上所述，该算法的灵感来源于横向方向。为了对这种行为进行数学建模，使用以下方程更新每个蛾相对于火焰的位置：

其中Mi表示第i个蛾，Fj表示第j个火焰，S是螺旋函数。

本文选择对数螺旋作为蛾类的主要更新机制。然而，在以下条件下，可以使用任何类型的螺旋：

• 螺旋的起始点应该从飞蛾开始。
• 螺旋的最后一点应该是火焰的位置。
• 螺旋线的波动范围不应超过搜索空间。

考虑到这些点，MFO算法的对数螺旋定义如下：

其中Di表示第j个火焰的第i个蛾的距离，b是用于定义对数螺旋形状的常数，t是[1，1]中的随机数。D的计算如下：

其中Mi表示第i个蛾，Fj表示第j个火焰，Di表示第j火焰的第i个蛾子的距离。

方程（3.12）是模拟飞蛾螺旋飞行路径的地方。从这个方程中可以看出，蛾的下一个位置是相对于火焰定义的。螺旋方程中的t参数定义了蛾的下一个位置应该在多大程度上靠近火焰（t=-1是最靠近火焰的位置，而t=1表示最远）。因此，可以在火焰周围的所有方向上假设一个超椭圆，蛾的下一个位置将在这个空间内。螺旋运动是所提出方法的主要组成部分，因为它决定了飞蛾如何更新它们在火焰周围的位置。螺旋方程允许飞蛾“绕”火焰飞行，而不一定在它们之间的空间内。因此，搜索空间的探索和开发是有保证的。对数螺旋、火焰周围的空间以及考虑曲线上不同t的位置如图3所示。

图4显示了飞蛾在火焰周围位置更新的概念模型。注意，纵轴只显示一个维度（给定问题的1个变量/参数），但所提出的方法可以用于改变问题的所有变量。在图4中，可以选择作为蛾在火焰（绿色水平线）周围的下一个位置（蓝色水平线）的可能位置（黑色虚线）清楚地表明，蛾可以在一维上探索和利用火焰周围的搜索空间。当下一个位置在飞蛾和h火焰之间的空间外时，就会发生探索，如1、3和4所示。当下一个位置位于蛾和火焰之间的空间内时，就会发生利用，如2所示的箭头所示。这个模型有一些有趣的观察结果如下：

• 蛾可以通过改变t收敛到火焰附近的任何点。
• t越低，离火焰的距离就越近。
• 随着飞蛾越来越靠近火焰，火焰两侧的位置更新频率增加。

所提出的位置更新程序可以保证火焰周围的开发。为了提高找到更好解的概率，将迄今为止获得的最佳解视为火焰。因此，方程（3.3）中的矩阵F总是包括迄今为止获得的n个最近的最佳解。蛾需要在优化期间更新它们相对于该矩阵的位置。为了进一步强调利用，假设t是[r，1]中的一个随机数，其中r在迭代过程中从1to2线性减小。注意，r被命名为收敛常数。使用这种方法，飞蛾倾向于更准确地利用与迭代次数成比例的相应火焰。

这里可能出现的一个问题是，方程（3.12）中的位置更新。只需要蛾向火焰移动，但它会导致MFO算法迅速陷入局部最优。为了防止这种情况，每个蛾都必须只使用等式（3.12）中的一个火焰来更新其位置。每次迭代，在更新火焰列表后，根据其适应度值对火焰进行排序。然后，飞蛾更新它们相对于相应火焰的位置。第一个飞蛾总是更新其相对于列表中最佳火焰的位置，而最后一个飞蛾则更新其相对于最差火焰的位置。图5显示了如何将每个飞蛾分配给火焰列表中的一个火焰。

应该注意的是，这一假设是为了设计MFO算法而做的，而可能不是自然界中飞蛾的实际行为。然而，横向定向仍然是由人工蛾完成的。为每个蛾指定特定火焰的原因是为了防止局部最佳停滞。如果所有的飞蛾都被一个火焰吸引，那么它们都会聚集在搜索空间中的一个点上，因为它们只能朝着火焰飞行，而不能向外飞行。然而，要求它们在不同的火焰周围移动，会导致搜索空间的探索更高，局部最优停滞的概率更低。

因此，由于以下原因，该方法保证了对迄今为止获得的最佳位置周围搜索空间的探索：

• 蛾类围绕迄今为止获得的最佳解决方案更新它们在超球体中的位置。
• 火焰的顺序基于每次迭代中的最佳解决方案而改变，并且蛾需要更新它们相对于更新的火焰的位置。因此，蛾类的位置更新可能发生在不同的火焰周围，这是一种导致蛾类在搜索空间中突然移动并促进探索的机制。

这里的另一个问题是，蛾相对于搜索空间中的n个不同位置的位置更新可能会降低对最有前途的解决方案的利用。为了解决这一问题，提出了一种针对火焰数量的自适应机制。图6显示了如何在迭代过程中自适应地减少火焰的数量。在这方面使用了以下公式：

其中，l是当前迭代次数，N是火焰的最大数量，T表示迭代的最大数量。

图6显示了在迭代的初始步骤中有N个火焰。然而，飞蛾仅在迭代的最后步骤中相对于最佳火焰更新它们的位置。火焰数量的逐渐减少平衡了搜索空间的探索和开发。毕竟，P函数的一般步骤如下。

如上所述，执行P函数直到T函数返回true。在终止P函数之后，返回最佳蛾作为最佳的最佳获得的近似。

3.文件结构

func_plot.m						% 绘制的基准函数
Get_Functions_details.m			% 基准的全部信息和实现
initialization.m				% 初始化
main.m							% 主函数
MFO.m							% 飞蛾扑火优化算法

4.详细代码及注释

4.1 func_plot.m

function func_plot(func_name)[lb,ub,dim,fobj]=Get_Functions_details(func_name);switch func_name case 'F1' x=-100:2:100; y=x; %[-100,100]case 'F2' x=-100:2:100; y=x; %[-10,10]case 'F3' x=-100:2:100; y=x; %[-100,100]case 'F4' x=-100:2:100; y=x; %[-100,100]case 'F5' x=-200:2:200; y=x; %[-5,5]case 'F6' x=-100:2:100; y=x; %[-100,100]case 'F7' x=-1:0.03:1;  y=x;  %[-1,1]case 'F8' x=-500:10:500;y=x; %[-500,500]case 'F9' x=-5:0.1:5;   y=x; %[-5,5]    case 'F10' x=-20:0.5:20; y=x;%[-500,500]case 'F11' x=-500:10:500; y=x;%[-0.5,0.5]case 'F12' x=-10:0.1:10; y=x;%[-pi,pi]case 'F13' x=-5:0.08:5; y=x;%[-3,1]case 'F14' x=-100:2:100; y=x;%[-100,100]case 'F15' x=-5:0.1:5; y=x;%[-5,5]case 'F16' x=-1:0.01:1; y=x;%[-5,5]case 'F17' x=-5:0.1:5; y=x;%[-5,5]case 'F18' x=-5:0.06:5; y=x;%[-5,5]case 'F19' x=-5:0.1:5; y=x;%[-5,5]case 'F20' x=-5:0.1:5; y=x;%[-5,5]        case 'F21' x=-5:0.1:5; y=x;%[-5,5]case 'F22' x=-5:0.1:5; y=x;%[-5,5]     case 'F23' x=-5:0.1:5; y=x;%[-5,5]  
end    L=length(x);
f=[];for i=1:Lfor j=1:Lif strcmp(func_name,'F15')==0 && strcmp(func_name,'F19')==0 && strcmp(func_name,'F20')==0 && strcmp(func_name,'F21')==0 && strcmp(func_name,'F22')==0 && strcmp(func_name,'F23')==0f(i,j)=fobj([x(i),y(j)]);endif strcmp(func_name,'F15')==1f(i,j)=fobj([x(i),y(j),0,0]);endif strcmp(func_name,'F19')==1f(i,j)=fobj([x(i),y(j),0]);endif strcmp(func_name,'F20')==1f(i,j)=fobj([x(i),y(j),0,0,0,0]);end       if strcmp(func_name,'F21')==1 || strcmp(func_name,'F22')==1 ||strcmp(func_name,'F23')==1f(i,j)=fobj([x(i),y(j),0,0]);end          end
endsurfc(x,y,f,'LineStyle','none');end

4.2 Get_Functions_details.m

function [lb,ub,dim,fobj] = Get_Functions_details(F)switch Fcase 'F1'fobj = @F1;lb=-100;ub=100;dim=10;case 'F2'fobj = @F2;lb=-10;ub=10;dim=10;case 'F3'fobj = @F3;lb=-100;ub=100;dim=10;case 'F4'fobj = @F4;lb=-100;ub=100;dim=10;case 'F5'fobj = @F5;lb=-30;ub=30;dim=10;case 'F6'fobj = @F6;lb=-100;ub=100;dim=10;case 'F7'fobj = @F7;lb=-1.28;ub=1.28;dim=10;case 'F8'fobj = @F8;lb=-500;ub=500;dim=10;case 'F9'fobj = @F9;lb=-5.12;ub=5.12;dim=10;case 'F10'fobj = @F10;lb=-32;ub=32;dim=10;case 'F11'fobj = @F11;lb=-600;ub=600;dim=10;case 'F12'fobj = @F12;lb=-50;ub=50;dim=10;case 'F13'fobj = @F13;lb=-50;ub=50;dim=10;case 'F14'fobj = @F14;lb=-65.536;ub=65.536;dim=2;case 'F15'fobj = @F15;lb=-5;ub=5;dim=4;case 'F16'fobj = @F16;lb=-5;ub=5;dim=2;case 'F17'fobj = @F17;lb=[-5,0];ub=[10,15];dim=2;case 'F18'fobj = @F18;lb=-2;ub=2;dim=2;case 'F19'fobj = @F19;lb=0;ub=1;dim=3;case 'F20'fobj = @F20;lb=0;ub=1;dim=6;     case 'F21'fobj = @F21;lb=0;ub=10;dim=4;    case 'F22'fobj = @F22;lb=0;ub=10;dim=4;    case 'F23'fobj = @F23;lb=0;ub=10;dim=4;            
endend% F1function o = F1(x)
o=sum(x.^2);
end% F2function o = F2(x)
o=sum(abs(x))+prod(abs(x));
end% F3function o = F3(x)
dim=size(x,2);
o=0;
for i=1:dimo=o+sum(x(1:i))^2;
end
end% F4function o = F4(x)
o=max(abs(x));
end% F5function o = F5(x)
dim=size(x,2);
o=sum(100*(x(2:dim)-(x(1:dim-1).^2)).^2+(x(1:dim-1)-1).^2);
end% F6function o = F6(x)
o=sum(abs((x+.5)).^2);
end% F7function o = F7(x)
dim=size(x,2);
o=sum([1:dim].*(x.^4))+rand;
end% F8function o = F8(x)
o=sum(-x.*sin(sqrt(abs(x))));
end% F9function o = F9(x)
dim=size(x,2);
o=sum(x.^2-10*cos(2*pi.*x))+10*dim;
end% F10function o = F10(x)
dim=size(x,2);
o=-20*exp(-.2*sqrt(sum(x.^2)/dim))-exp(sum(cos(2*pi.*x))/dim)+20+exp(1);
end% F11function o = F11(x)
dim=size(x,2);
o=sum(x.^2)/4000-prod(cos(x./sqrt([1:dim])))+1;
end% F12function o = F12(x)
dim=size(x,2);
o=(pi/dim)*(10*((sin(pi*(1+(x(1)+1)/4)))^2)+sum((((x(1:dim-1)+1)./4).^2).*...
(1+10.*((sin(pi.*(1+(x(2:dim)+1)./4)))).^2))+((x(dim)+1)/4)^2)+sum(Ufun(x,10,100,4));
end% F13function o = F13(x)
dim=size(x,2);
o=.1*((sin(3*pi*x(1)))^2+sum((x(1:dim-1)-1).^2.*(1+(sin(3.*pi.*x(2:dim))).^2))+...
((x(dim)-1)^2)*(1+(sin(2*pi*x(dim)))^2))+sum(Ufun(x,5,100,4));
end% F14function o = F14(x)
aS=[-32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32;,...
-32 -32 -32 -32 -32 -16 -16 -16 -16 -16 0 0 0 0 0 16 16 16 16 16 32 32 32 32 32];for j=1:25bS(j)=sum((x'-aS(:,j)).^6);
end
o=(1/500+sum(1./([1:25]+bS))).^(-1);
end% F15function o = F15(x)
aK=[.1957 .1947 .1735 .16 .0844 .0627 .0456 .0342 .0323 .0235 .0246];
bK=[.25 .5 1 2 4 6 8 10 12 14 16];bK=1./bK;
o=sum((aK-((x(1).*(bK.^2+x(2).*bK))./(bK.^2+x(3).*bK+x(4)))).^2);
end% F16function o = F16(x)
o=4*(x(1)^2)-2.1*(x(1)^4)+(x(1)^6)/3+x(1)*x(2)-4*(x(2)^2)+4*(x(2)^4);
end% F17function o = F17(x)
o=(x(2)-(x(1)^2)*5.1/(4*(pi^2))+5/pi*x(1)-6)^2+10*(1-1/(8*pi))*cos(x(1))+10;
end% F18function o = F18(x)
o=(1+(x(1)+x(2)+1)^2*(19-14*x(1)+3*(x(1)^2)-14*x(2)+6*x(1)*x(2)+3*x(2)^2))*...(30+(2*x(1)-3*x(2))^2*(18-32*x(1)+12*(x(1)^2)+48*x(2)-36*x(1)*x(2)+27*(x(2)^2)));
end% F19function o = F19(x)
aH=[3 10 30;.1 10 35;3 10 30;.1 10 35];cH=[1 1.2 3 3.2];
pH=[.3689 .117 .2673;.4699 .4387 .747;.1091 .8732 .5547;.03815 .5743 .8828];
o=0;
for i=1:4o=o-cH(i)*exp(-(sum(aH(i,:).*((x-pH(i,:)).^2))));
end
end% F20function o = F20(x)
aH=[10 3 17 3.5 1.7 8;.05 10 17 .1 8 14;3 3.5 1.7 10 17 8;17 8 .05 10 .1 14];
cH=[1 1.2 3 3.2];
pH=[.1312 .1696 .5569 .0124 .8283 .5886;.2329 .4135 .8307 .3736 .1004 .9991;...
.2348 .1415 .3522 .2883 .3047 .6650;.4047 .8828 .8732 .5743 .1091 .0381];
o=0;
for i=1:4o=o-cH(i)*exp(-(sum(aH(i,:).*((x-pH(i,:)).^2))));
end
end% F21function o = F21(x)
aSH=[4 4 4 4;1 1 1 1;8 8 8 8;6 6 6 6;3 7 3 7;2 9 2 9;5 5 3 3;8 1 8 1;6 2 6 2;7 3.6 7 3.6];
cSH=[.1 .2 .2 .4 .4 .6 .3 .7 .5 .5];o=0;
for i=1:5o=o-((x-aSH(i,:))*(x-aSH(i,:))'+cSH(i))^(-1);
end
end% F22function o = F22(x)
aSH=[4 4 4 4;1 1 1 1;8 8 8 8;6 6 6 6;3 7 3 7;2 9 2 9;5 5 3 3;8 1 8 1;6 2 6 2;7 3.6 7 3.6];
cSH=[.1 .2 .2 .4 .4 .6 .3 .7 .5 .5];o=0;
for i=1:7o=o-((x-aSH(i,:))*(x-aSH(i,:))'+cSH(i))^(-1);
end
end% F23function o = F23(x)
aSH=[4 4 4 4;1 1 1 1;8 8 8 8;6 6 6 6;3 7 3 7;2 9 2 9;5 5 3 3;8 1 8 1;6 2 6 2;7 3.6 7 3.6];
cSH=[.1 .2 .2 .4 .4 .6 .3 .7 .5 .5];o=0;
for i=1:10o=o-((x-aSH(i,:))*(x-aSH(i,:))'+cSH(i))^(-1);
end
endfunction o=Ufun(x,a,k,m)
o=k.*((x-a).^m).*(x>a)+k.*((-x-a).^m).*(x<(-a));
end

4.3 initialization.m

function X=initialization(SearchAgents_no,dim,ub,lb)Boundary_no= size(ub,2); % numnber of boundaries% If the boundaries of all variables are equal and user enter a signle
% number for both ub and lb
if Boundary_no==1X=rand(SearchAgents_no,dim).*(ub-lb)+lb;
end% If each variable has a different lb and ub
if Boundary_no>1for i=1:dimub_i=ub(i);lb_i=lb(i);X(:,i)=rand(SearchAgents_no,1).*(ub_i-lb_i)+lb_i;end
end

4.4 main.m

clear all 
clcSearchAgents_no=30; % Number of search agentsFunction_name='F1'; % Name of the test function that can be from F1 to F23 (Table 1,2,3 in the paper)Max_iteration=1000; % Maximum numbef of iterations% Load details of the selected benchmark function
[lb,ub,dim,fobj]=Get_Functions_details(Function_name);[Best_score,Best_pos,cg_curve]=MFO(SearchAgents_no,Max_iteration,lb,ub,dim,fobj);figure('Position',[284   214   660   290])
%Draw search space
subplot(1,2,1);
func_plot(Function_name);
title('Test function')
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel([Function_name,'( x_1 , x_2 )'])
grid off%Draw objective space
subplot(1,2,2);
semilogy(cg_curve,'Color','b')
title('Convergence curve')
xlabel('Iteration');
ylabel('Best flame (score) obtained so far');axis tight
grid off
box on
legend('MFO')display(['The best solution obtained by MFO is : ', num2str(Best_pos)]);
display(['The best optimal value of the objective funciton found by MFO is : ', num2str(Best_score)]);

4.5 MFO.m

function [Best_flame_score,Best_flame_pos,Convergence_curve]=MFO(N,Max_iteration,lb,ub,dim,fobj)display('MFO is optimizing your problem');%Initialize the positions of moths
Moth_pos=initialization(N,dim,ub,lb);Convergence_curve=zeros(1,Max_iteration);Iteration=1;% Main loop
while Iteration<Max_iteration+1% Number of flames Eq. (3.14) in the paperFlame_no=round(N-Iteration*((N-1)/Max_iteration));for i=1:size(Moth_pos,1)% Check if moths go out of the search spaceand bring it backFlag4ub=Moth_pos(i,:)>ub;Flag4lb=Moth_pos(i,:)<lb;Moth_pos(i,:)=(Moth_pos(i,:).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;  % Calculate the fitness of mothsMoth_fitness(1,i)=fobj(Moth_pos(i,:));  endif Iteration==1% Sort the first population of moths[fitness_sorted I]=sort(Moth_fitness);sorted_population=Moth_pos(I,:);% Update the flamesbest_flames=sorted_population;best_flame_fitness=fitness_sorted;else% Sort the mothsdouble_population=[previous_population;best_flames];double_fitness=[previous_fitness best_flame_fitness];[double_fitness_sorted I]=sort(double_fitness);double_sorted_population=double_population(I,:);fitness_sorted=double_fitness_sorted(1:N);sorted_population=double_sorted_population(1:N,:);% Update the flamesbest_flames=sorted_population;best_flame_fitness=fitness_sorted;end% Update the position best flame obtained so farBest_flame_score=fitness_sorted(1);Best_flame_pos=sorted_population(1,:);previous_population=Moth_pos;previous_fitness=Moth_fitness;% a linearly dicreases from -1 to -2 to calculate t in Eq. (3.12)a=-1+Iteration*((-1)/Max_iteration);for i=1:size(Moth_pos,1)for j=1:size(Moth_pos,2)if i<=Flame_no % Update the position of the moth with respect to its corresponsing flame% D in Eq. (3.13)distance_to_flame=abs(sorted_population(i,j)-Moth_pos(i,j));b=1;t=(a-1)*rand+1;% Eq. (3.12)Moth_pos(i,j)=distance_to_flame*exp(b.*t).*cos(t.*2*pi)+sorted_population(i,j);endif i>Flame_no % Upaate the position of the moth with respct to one flame% Eq. (3.13)distance_to_flame=abs(sorted_population(i,j)-Moth_pos(i,j));b=1;t=(a-1)*rand+1;% Eq. (3.12)Moth_pos(i,j)=distance_to_flame*exp(b.*t).*cos(t.*2*pi)+sorted_population(Flame_no,j);endendendConvergence_curve(Iteration)=Best_flame_score;% Display the iteration and best optimum obtained so farif mod(Iteration,50)==0display(['At iteration ', num2str(Iteration), ' the best fitness is ', num2str(Best_flame_score)]);endIteration=Iteration+1; 
end

5.运行结果

6.参考文献

[1]Seyedali Mirjalili. Moth-flame optimization algorithm: A novel nature-inspired heuristic paradigm[J]. Knowledge-Based Systems,2015,89.