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【题目链接】
ybt 1197：山区建小学
OpenJudge NOI 2.6 7624:山区建小学
洛谷 P4677 山区建小学
【题目考点】
1. 动态规划：区间动规
2. 前缀和
【解题思路】
1. 求相邻多村中建一所小学，各村上学的最短距离
现在准备在第i村到第j村中建立一所小学，从第i村到第j村的学生都只能上这一所小学。考虑将小学建在哪个村里，可以使得第i到第j各村的学生上学距离加和最短？
上图用一条线段上的点表示各个村，包括第i，i+1，i+2，…，j-1，j村。
相邻两村之间的距离是已知的，已知第 x x x到第 x + 1 x+1 x+1村的距离为 d x d_x dx，设在第p村建学校。
证明： p = i + j 2 p=\frac{i+j}{2} p=2i+j时，在第 p p p村建学校，各村上学的距离总和最小。
引理1：将学校从第k-1村移到第k村，上学总距离减少： s d = ( i + j + 1 − 2 k ) d k − 1 sd=(i+j+1-2k)d_{k-1} sd=(i+j+1−2k)dk−1
证明：考虑特殊情况：
- 如果 p = i p=i p=i，那么总距离加和为： ∑ y = i j − 1 ( ∑ x = i y d x ) \sum_{y=i}^{j-1}(\sum_{x=i}^{y}d_x) ∑y=ij−1(∑x=iydx)
- 如果 p = i + 1 p=i+1 p=i+1，相比于 p = i p=i p=i，从 i i i村距离0， i + 1 i+1 i+1村距离 d i d_i di，变为 i + 1 i+1 i+1村距离0， i i i村距离增加 d i d_i di，这部分的距离没变。从第 i + 2 i+2 i+2到 j j j村每个村的距离都减少了 d i d_i di，总共减少距离 ( j − i − 1 ) d i (j-i-1)d_i (j−i−1)di
- 如果 p = i + 2 p=i+2 p=i+2，相比于 p = i + 1 p=i+1 p=i+1，原来 i + 2 i+2 i+2村的距离变为 i + 1 i+1 i+1村的距离， i i i村的距离增加 d i + 1 d_{i+1} di+1，从第 i + 3 i+3 i+3到 j j j每个村距离减少 d i + 1 d_{i+1} di+1，全部加起来总共减少 ( j − i − 3 ) d i + 1 (j-i-3)d_{i+1} (j−i−3)di+1
考虑一般情况：
- 如果 p = k p=k p=k，相比于 p = k − 1 p=k-1 p=k−1，原来 k k k村的距离变为 k − 1 k-1 k−1村的距离，
从第 i i i到 k − 2 k-2 k−2村每村上学距离增加了 d k − 1 d_{k-1} dk−1，共增加距离 ( k − i − 1 ) d k − 1 (k-i-1)d_{k-1} (k−i−1)dk−1。
从第 k + 1 k+1 k+1到 j j j村每村上学距离减少了 d k − 1 d_{k-1} dk−1，共减少距离 ( j − k ) d k − 1 (j-k)d_{k-1} (j−k)dk−1。
总减少距离 s d sd sd为 ( j − k ) d k − 1 − ( k − i − 1 ) d k − 1 (j-k)d_{k-1}-(k-i-1)d_{k-1} (j−k)dk−1−(k−i−1)dk−1
即将学校从第k-1村移到第k村，总距离减少： s d = ( i + j + 1 − 2 k ) d k − 1 sd=(i+j+1-2k)d_{k-1} sd=(i+j+1−2k)dk−1证明： p = i + j 2 p=\frac{i+j}{2} p=2i+j时，在第 p p p村建学校，各村上学的距离总和最小。
考虑从 i i i到 j j j的数字个数的奇偶性
- 如果从 i i i到 j j j一共有偶数个数字，那么 i , j i,j i,j奇偶性不同， i + j + 1 i+j+1 i+j+1为偶数，能整除2。
- 如果 k < i + j + 1 2 k <\frac{i+j+1}{2} k<2i+j+1，那么 s d = ( i + j + 1 − 2 k ) d k − 1 > 0 sd = (i+j+1-2k)d_{k-1} > 0 sd=(i+j+1−2k)dk−1>0，将学校从 k − 1 k-1 k−1村移动到 k k k村后总距离减少。
- 如果 k = i + j + 1 2 k=\frac{i+j+1}{2} k=2i+j+1，从 k − 1 k-1 k−1村移动到 k k k村距离不变。
- 如果 k > i + j + 1 2 k>\frac{i+j+1}{2} k>2i+j+1，那么 s d = ( i + j + 1 − 2 k ) d k − 1 < 0 sd = (i+j+1-2k)d_{k-1} < 0 sd=(i+j+1−2k)dk−1<0，减少的距离为负值，即为增加距离。将学校从 k − 1 k-1 k−1村移动到 k k k村后的总距离增加。
- 因此在第 i + j − 1 2 \frac{i+j-1}{2} 2i+j−1或 i + j + 1 2 \frac{i+j+1}{2} 2i+j+1村，建学校可以让距离总和最小。考虑整除运算，此时 i + j 2 = i + j − 1 2 \frac{i+j}{2}=\frac{i+j-1}{2} 2i+j=2i+j−1，所以也可以说在第 i + j 2 \frac{i+j}{2} 2i+j村建学校可以使得距离总和最小。
- 如果从 i i i到 j j j一共有奇数个数字，那么 i , j i,j i,j奇偶性相同， i + j i+j i+j为偶数。
- k k k取 i + j 2 \frac{i+j}{2} 2i+j时，减少距离 s d = d k − 1 > 0 sd=d_{k-1}>0 sd=dk−1>0，即将学校从第 i + j 2 − 1 \frac{i+j}{2}-1 2i+j−1村移到 i + j 2 \frac{i+j}{2} 2i+j村，总距离减少。
- k k k取 i + j 2 + 1 \frac{i+j}{2}+1 2i+j+1时，减少距离 s d = − d k − 1 < 0 sd=-d_{k-1}<0 sd=−dk−1<0，即将学校从第 i + j 2 \frac{i+j}{2} 2i+j村移到 i + j 2 + 1 \frac{i+j}{2}+1 2i+j+1村，总距离增加。
- 因此在第 i + j 2 \frac{i+j}{2} 2i+j村建学校，距离总和最小。
c i , j c_{i,j} ci,j表示从第i村到第j村建只一所小学，且从第i村到第j村都上这一所小学，上学的距离加和的最小值。根据上述结论，应该在第 i + 1 2 \frac{i+1}{2} 2i+1村建小学。
记 s i s_i si表示第i村到第1村的距离，那么 s i = ∑ x = 1 i − 1 d x s_i=\sum_{x=1}^{i-1}d_x si=∑x=1i−1dx
那么第i村到第j村的距离 ∑ x = i j − 1 d x \sum_{x=i}^{j-1}d_x ∑x=ij−1dx为 s j − s i s_j-s_i sj−si，类似前缀和。
该问题可以作为一个小的动态规划问题来解， c i , j c_{i,j} ci,j为状态
- 初始状态： c i , i c_{i,i} ci,i，从第i村到第i村建1所小学，那么就在第i村建，第i村的学生上学走路距离为0，所以对于任意i，有 c i , i = 0 c_{i,i}=0 ci,i=0
- 状态转移：
- 已知从第i村到第j-1村，在第 i + j − 1 2 \frac{i+j-1}{2} 2i+j−1村建小学，距离总和为 c i , j − 1 c_{i,j-1} ci,j−1。
- 现在要考虑第i村到第j村，到第 i + j − 1 2 \frac{i+j-1}{2} 2i+j−1村的小学上学，第j村到第 i + j − 1 2 \frac{i+j-1}{2} 2i+j−1村的距离为 s j − s ( i + j − 1 ) / 2 s_j-s_{(i+j-1)/2} sj−s(i+j−1)/2，距离总和为 c i , j − 1 + s j − s ( i + j − 1 ) / 2 c_{i,j-1}+s_j-s_{(i+j-1)/2} ci,j−1+sj−s(i+j−1)/2。
- 现在要将在第 i + j − 1 2 \frac{i+j-1}{2} 2i+j−1村的小学移到第 i + j 2 \frac{i+j}{2} 2i+j村。
- 如果i+j是奇数，那么 i + j − 1 2 = i + j 2 \frac{i+j-1}{2} = \frac{i+j}{2} 2i+j−1=2i+j，小学没有移动。距离总和可以写为： c i , j − 1 + s j − s ( i + j ) / 2 c_{i,j-1}+s_j-s_{(i+j)/2} ci,j−1+sj−s(i+j)/2
- 如果i+j是偶数，那么 i + j − 1 2 = i + j 2 − 1 \frac{i+j-1}{2} = \frac{i+j}{2}-1 2i+j−1=2i+j−1，
根据引理1：将学校从第 i + j 2 − 1 \frac{i+j}{2}-1 2i+j−1村移到第 i + j 2 \frac{i+j}{2} 2i+j村，上学总距离减少： s d = ( i + j + 1 − 2 ∗ i + j 2 ) d ( i + j ) / 2 − 1 = d ( i + j ) / 2 − 1 sd=(i+j+1-2*\frac{i+j}{2})d_{(i+j)/2-1}=d_{(i+j)/2-1} sd=(i+j+1−2∗2i+j)d(i+j)/2−1=d(i+j)/2−1，
距离总和为： c i , j − 1 + s j − s ( i + j − 1 ) / 2 − d ( i + j ) / 2 − 1 = c i , j − 1 + s j − ( s ( i + j ) / 2 − 1 + d ( i + j ) / 2 − 1 ) = c i , j − 1 + s j − s ( i + j ) / 2 c_{i,j-1}+s_j-s_{(i+j-1)/2}-d_{(i+j)/2-1}=c_{i,j-1}+s_j-(s_{(i+j)/2-1}+d_{(i+j)/2-1})=c_{i,j-1}+s_j-s_{(i+j)/2} ci,j−1+sj−s(i+j−1)/2−d(i+j)/2−1=ci,j−1+sj−(s(i+j)/2−1+d(i+j)/2−1)=ci,j−1+sj−s(i+j)/2
因此得到状态转移方程为： c i , j = c i , j − 1 + s j − s ( i + j ) / 2 c_{i,j}=c_{i,j-1}+s_j-s_{(i+j)/2} ci,j=ci,j−1+sj−s(i+j)/2
即c[i][j] = c[i][j-1] + s[j] - s[(i+j)/2]
另一种写法，也可以直接通过前缀和求c数组。
求从第i村到第j村每个村到第 i + 1 2 \frac{i+1}{2} 2i+1村的距离加和
c i , j = ∑ x = i ( i + j ) / 2 − 1 ( s ( i + j ) / 2 − s x ) + ∑ x = ( i + j ) / 2 + 1 j ( s x − s ( i + j ) / 2 ) c_{i,j} = \sum_{x=i}^{(i+j)/2-1}(s_{(i+j)/2}-s_x)+\sum_{x=(i+j)/2+1}^{j}(s_x-s_{(i+j)/2}) ci,j=∑x=i(i+j)/2−1(s(i+j)/2−sx)+∑x=(i+j)/2+1j(sx−s(i+j)/2)
本质上和第一种写法是一样的。由该式也可以推出上述递推公式。
2. 求前i个村建j个学校的最小距离和
- 确定状态定义：
集合：建学校的方案
限制：哪些村，建学校个数
属性：各村到最近学校距离和
条件：最小
统计量：各村到最近学校距离和
状态定义：dp[i][j]: 前i个村建j所小学，且前i个村就只去这j所小学的情况下，各村到最近学校的距离和。
初始状态：前i个村建1所小学，距离和为 c 1 , i c_{1,i} c1,i，所以dp[i][1] = c[1][i] - 确定状态转移方程：
前i个村要建j所小学，考虑最后建的一所小学要让哪些使用村。
前i-1个村建j-1所小学，第j所小学给第i村使用。dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+c[i][i]
前i-2个村建j-1所小学，第j所小学给第i-1到第i村使用。dp[i][j] = dp[i-2][j-1]+c[i-1][i]前i-3个村建j-1所小学，第j所小学给第i-2到第i村使用。dp[i][j] = dp[i-3][j-1]+c[i-2][i]
…
前k个村建j-1所小学，第j所小学给第k+1到第i村使用，在第k+1到第i村建一所使得这些村的学生上学距离加和最短的小学，需要在第 k + 1 + i 2 \frac{k+1+i}{2} 2k+1+i村建校，距离加和为c[k+1][i]。所以总加和为：dp[i][j] = dp[k][j-1]+c[k+1][i]
k最小为j-1，即前j-1个村建j-1所小学，每个村一所，k最大为i-1，这样可以在第i村建第j所学校。
状态转移方程为：
k从j-1循环到i-1，求dp[i][j] = dp[k][j-1]+c[k+1][i]的最小值。
前i个村建j所小学，有m个村，最多n个小学。
i从1循环到m，j从1循环到n。如果 j > = i j>=i j>=i，可以保证每个村一所学校，总距离为0。所以j只需要循环到 i − 1 i-1 i−1即可。所以j的循环条件为 j < = n j<=n j<=n且 j < i j<i j<i。
【题解代码】
解法1：区间动规
- 通过递推求c数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
#define INF 0x3f3f3f3f
int d[N], s[N];//d[i]:第i村到第i+1村的距离 s[i]:第i村到第1村的距离
int c[N][N];//c[i][j]:第i村到第j村建1所小学，且都上这所小学的最小距离
int dp[N][N];//dp[i][j]:前i个村建j所小学，且都上这些小学的最小距离
int main()
{int n, m;cin >> m >> n;for(int i = 1; i <= m - 1; ++i){cin >> d[i];s[i+1] = s[i] + d[i];}for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = i; j <= m; ++j)c[i][j] = c[i][j-1] + s[j] - s[(i+j)/2];for(int i = 1; i <= m; ++i)dp[i][1] = c[1][i];for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 2; j <= n && j < i; ++j){dp[i][j] = INF;for(int k = j - 1; k <= i - 1; ++k)dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j-1] + c[k+1][i]);}cout << dp[m][n]; return 0;
}
- 通过前缀和直接求c数组
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
#define INF 0x3f3f3f3f
int d[N], s[N];//d[i]:第i村到第i+1村的距离 s[i]:第i村到第1村的距离
int c[N][N];//c[i][j]:第i村到第j村建1所小学，且都上这所小学的最小距离
int dp[N][N];//dp[i][j]:前i个村建j所小学，且都上这些小学的最小距离
int main()
{int n, m;cin >> m >> n;for(int i = 1; i <= m - 1; ++i){cin >> d[i];s[i+1] = s[i] + d[i];}for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = i; j <= m; ++j){int mid = (i+j)/2;for(int k = i; k <= mid-1; ++k)c[i][j] += s[mid] - s[k];for(int k = mid+1; k <= j; ++k)c[i][j] += s[k] - s[mid];}for(int i = 1; i <= m; ++i)dp[i][1] = c[1][i];for(int i = 1; i <= m; ++i)for(int j = 2; j <= n && j < i; ++j){dp[i][j] = INF;for(int k = j - 1; k <= i - 1; ++k)dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j-1] + c[k+1][i]);}cout << dp[m][n]; return 0;
}
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