20200416 T3 寻找天哥【组合向量的模长的幂的期望】

本文主要是介绍20200416 T3 寻找天哥【组合向量的模长的幂的期望】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题目描述：

在这里插入图片描述

题目分析：

略微转化后，即给出一些向量 $a_ix_i,b_ix_i,c_ix_i)$ ，其中 $x_i$ 是随机分布在 $[0, 1]$ 的实数，设 $R$ 为向量全部相加后的模长，求 $E(R^4)$

思路一般是将式子层层分解为独立的几部分，然后相乘。

首先有 $R^2=(\sum_{i=1}^na_ix_i)^2+(\sum_{i=1}^nb_ix_i)^2+(\sum_{i=1}^nc_ix_i)^2$
令这三项分别为 $A, B, C$ ，那么答案就是：
$E(A^4+B^4+C^4+2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2))$

因为对于 $i\neq j$ ， $x_i$ 和 $x_j$ 是独立的，所以可以尝试一个一个添加进去：
设 $f_{t,i,j,k}$ 表示已经考虑了前 $t$ 个向量， $A^i*B^j*C^k$ 的期望。
对于新添加的第 $t$ 个向量，考虑它对 $f_{t-1}$ 的影响，设新添加的向量为 $(A^{'}, B^{'}, C^{'})$
$f_{t,i,j,k}=E((A+A')^i(B+B')^j(C+C')^k)\\=E(\sum_x\sum_{y}\sum_z\binom{i}{x}\binom jy\binom kzA^xA'^{i-x}B^yB'^{j-y}C^zC'^{k-z})\\=\sum_x\sum_{y}\sum_z\binom{i}{x}\binom jy\binom kzE(A^xB^yC^z)*E(A'^{i-x}B'^{j-y}C'^{k-z})$ 第一个 $E$ 就是 $f_{t-1,x,y,z}$ ，第二个 $E$ 即为形如 $E(a_t^ib_t^jc_t^kx^{i+j+k})$ 的值。
而 $\int_0^1x^pdx=\frac 1{p+1}$ ，所以 $E(a_t^ib_t^jc_t^kx^{i+j+k})={a_t^ib_t^jc_t^k\over i+j+k+1}$

~~好像还蛮简单的？~~

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 3005
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
using namespace std;
const double Pi = acos(-1);
int n,CC[5][5];
double pa[5],pb[5],pc[5],f[2][5][5][5],e[5][5][5];
int main()
{freopen("find.in","r",stdin);freopen("find.out","w",stdout);for(int i=(CC[0][0]=1);i<=4;i++)for(int j=(CC[i][0]=1);j<=i;j++)CC[i][j]=CC[i-1][j-1]+CC[i-1][j];double Alpha,Beta,L,a,b,c;while(scanf("%d",&n),n){int now=0; memset(f,0,sizeof f),f[now][0][0][0]=1;for(int t=1;t<=n;t++,now=!now){scanf("%lf%lf%lf",&Alpha,&Beta,&L);a=L*cos(Beta)*cos(Alpha),b=L*cos(Beta)*sin(Alpha),c=L*sin(Beta);pa[0]=pb[0]=pc[0]=1;rep(i,1,4) pa[i]=pa[i-1]*a,pb[i]=pb[i-1]*b,pc[i]=pc[i-1]*c;rep(i,0,4) rep(j,0,4) rep(k,0,4) e[i][j][k]=pa[i]*pb[j]*pc[k]/(i+j+k+1);memset(f[!now],0,sizeof f[!now]);rep(A,0,4) rep(B,0,4) rep(C,0,A&&B?0:4)rep(i,0,A) rep(j,0,B) rep(k,0,C)f[!now][A][B][C]+=f[now][A-i][B-j][C-k]*CC[A][i]*CC[B][j]*CC[C][k]*e[i][j][k];}double R4=f[now][4][0][0]+f[now][0][4][0]+f[now][0][0][4]+2*(f[now][2][2][0]+f[now][2][0][2]+f[now][0][2][2]);printf("%.6f\n",Pi/3*R4);}
}