自动控制原理之根轨迹

根轨迹绘制的基本法则

法则1与2略

法则三：实轴上的根轨迹

相角条件要求所有在实轴上的根轨迹的点
相角值总和与-1的相角值相等
即为

对于任何传递函数的各项系数为实数的方程

1. 其不在实轴上的零极点的分布必然关于实轴对称且两点相角值和为360°（2Π）
2. 在实轴上的位于此点左边的点相角值为0°
3. 在实轴上的此点右边的点
   若有2k个零极点，则零极点总数之差必为2a（a<k），则其相角值和仍是2aΠ
   若有2k+1个零极点，则零极点总数之差必为2a+1（a<k），则其相角值和为(2a+1)Π

则对于任一实轴上的点，只要其右边的零极点个数之和为奇数个，则其一定在更轨迹上

法则四：开环传函的极点个数比零点个数多2时，根之和为常数，即极点之和总是相等

此时若一部分根/极点左移，必有一部分根/极点右移，且移动的总量为0

此法则既可用来验证根轨迹，亦可用来绘制根轨迹（其他法则大部分同理）

圆形根轨迹的判定与绘制

由上述证明过程可知闭环传函的闭环特征方程
等于开环传函的分子（乘以开环增益）加分母
即

当开环传函的分子分母中的任意一个是
关于s的一元二次方程时
例如

若s的解的形式是
一个

• 实部加虚部=α+jw
• 实部到某点的差的二次方的和与虚部的二次方的和为常数
  （可以将实部中的根轨迹增益K用含α的式子表示，后将w中的根轨迹增益K换成含α的式子，整合公示以后判断其是否为圆形表达的公式）
  例如
  
  以上过程证明根轨迹，即s的值是许多个到此常数距离恒定的点所组成的一条曲线，即一个圆
  
  由此得到根轨迹圆弧定理
  

根据以上两大法则和圆的根轨迹的定理
判断根轨迹的绘制
先根据法则三判断实轴上的根轨迹
若此时有极点未直接与零点或负无穷相连
则存在圆的根轨迹（通过园的根轨迹连接实轴根轨迹来构成完整的根轨迹）
例如

法则五：一个距离所有零极点无穷远的在根轨迹上的点，在近似的条件下，根轨迹上的这个点到所有零极点的情况可近似看做 词典到这些零极点的质心的情况

（例如在宇宙上无穷远处看地球的任意一点，距离和角度都可近似地认为是再看宇宙的质心）
此时这个点仍然满足

1. 其相角条件同样需要满足与-1相等，即(2k+1)Π
2. 其长度条件满足到质心与到零极点的距离近似相等
   由相角条件可知
   
   
   由长度条件可知，若这个点同时在许多条根轨迹上时（即此点是许多条根轨迹的交点）
   

又根轨迹肯定是对称的，可知当这个点足够远时，无论虚轴上的尺度如何大，实轴上的单位总是会接近于σ

由上面的推导过程可知根轨迹上的点一定近似满足以下两个条件
以对应的角度φ
在某一分离点分开并指向无穷远处
并在虚轴上无限增大，实轴上无限接近于σ
（真正的根轨迹在无穷远处时与渐近线几乎重合，在近处时则根据计算会用较大偏差但轨迹的走向与趋势一致）

做题绘制根轨迹时
在上述条件下，同时注意根之和满足的某些趋势，绘制这样的“渐近线”
例如

由根之和可知，在根轨迹增益增大的过程中，从极点-4出发的根轨迹单调向右运动，那么在根之和不变的情况下

1. -1与0之间的分离点因该更加靠近-1
2. 右边的根轨迹在对称运动到实数部分为-1时，左边应刚好运动到-3
3. 右边的根轨迹在分离之后应单调向左运动，无限接近但永远不等于-3/2

上图根轨迹不符合法则四根之和，错误

同上，错误

正确

法则六：根轨迹上的任一点满足特征方程为零，而根轨迹的交点则是同时满足特征方程本身为零的条件下其对应的导数为零（即特征方程的重根）

例如

经由一下数学推导可知


做题时
要么直接依靠计算机输入方程求得分离点
要么没有计算机就直接“试根”

法则七：根轨迹与虚轴的交点

1. 通过劳斯判据劳斯表得知的临稳状态时的根轨迹增益，列出劳斯表中对应行的特征部分组成式来求得此时的特征值
2. 直接设s=wj，带入原特征方程中求解
   

法则八：相角条件