振动力学学习笔记: 理想元件(一) 弹性元件及其简化模型

前情提要
绪论(一) 振动力学的基本概念
绪论(二) 振动力学的基本问题与基本方法
绪论(三) 简谐振动及其三角函数、矢量、复数表示法

在振动系统中，只有质量及其分布、运动阻尼、恢复力特性 等少数参数对振动特性及其响应起主导作用，对应三种理想元件

• 质量块 (质量大小 $m$)
• 阻尼 (阻尼系数 $c$) (一些极简模型可以没有阻尼)
• 弹簧 (刚度系数 $k$)

在接下来的三节中，我们将分别介绍这三种理想元件的简化模型，并介绍如何把实际模型抽象为理想元件。先从弹性元件开始。

弹性元件基本属性

弹性元件是个储能元件，其吸收的能量会被储蓄起来，因此不会影响系统的总能量。在振动过程中，弹性元件产生力始终倾向于使系统恢复初始状态，恢复力的方向取决于运动的方向。

基本假设

• 忽略弹簧的质量 (振动块的质量远大于弹簧质量)
• 小变形假设 (振动系统的振幅不超过弹性元件的线性范围)

胡克定律 小变形范围内，弹性恢复力与位移关系满足成正比

对于平移振动系统 $$F_{\text{s}}=kx\text{\hspace{1em}(1)}$$
弹簧刚度 $k$

• 使弹簧产生单位位移所需要的力
• 量纲 $[\text{M}][{\text{T}}^{-2}]$
• 国际制单位 $\text{N}/\text{m}$

对于角振动系统 $$M_{\text{s}}=k\theta \text{\hspace{1em}(2)}$$
扭转弹簧刚度 $k$

• 使弹簧产生单位角位移所需要的力矩
• 量纲 $[\text{M}][\text{L}{]}^2[{\text{T}}^{-2}]$
• 国际制单位 $\text{N}\cdot \text{m}/\text{rad}$

[推广] 对于任意广义弹性元件 (工作受力与变形之间保持线性关系即可) $$弹簧刚度k=\frac{广义作用力}{广义位移}\text{\hspace{1em}(3)}$$

弹性势能 $$V=\frac{1}{2}k{x}^2\text{\hspace{1em}(4)}$$

常见弹性杆件的刚度公式推导

杆件参数 长度 $L$、横截面积 $A$、抗弯截面惯性矩 $I$、极惯性矩 $J$、材料弹性模量 $E$、剪切弹性模量 $G$

材料力学基础 ^[2]
弯曲梁挠曲线的近似微分方程 $$\frac{{\text{d}}^{2}w}{\text{d}{x}^2}=\frac{M}{EI}\text{\hspace{1em}(5)}$$
故有转角方程 $$\theta (x)=\frac{\text{d}w}{\text{d}x}=\int \frac{M}{EI}\text{d}x+C\text{\hspace{1em}(6)}$$
挠曲线方程 $$w(x)=\iint \left(\frac{M}{EI}\text{d}x\right)\text{d}x+Cx+D\text{\hspace{1em}(7)}$$

拉压杆件

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{\sigma }{\epsilon }=\frac{F/A}{x/L}\\ \therefore F& =\frac{EA}{L}x\end{array}$$拉压杆件刚度$$k=\frac{EA}{L}\text{\hspace{1em}(8)}$$ 为消除截面及材料的影响，探究长度 $L$ 对拉压杆件刚度的影响，绘制相对刚度 $k/EA$ 随杆长 $L$ 变化的规律如图所示

悬臂梁

任意点处分析其右侧部分杆件受力，有
$$M=F(L-x)$$则由式$(6)$、$(7)$有
$$\begin{array}{rl}\theta (x)& =\int \frac{M}{EI}\text{d}x+C=\int \frac{F\left(L-x\right)}{EI}\text{d}x+C\\ & =-\frac{F{x}^2}{2EI}+\frac{FLx}{EI}+C\\ w(x)& =\iint \left(\frac{M}{EI}\text{d}x\right)\text{d}x+Cx+D=\iint \left[\frac{F\left(L-x\right)}{EI}\text{d}x\right]\text{d}x+Cx+D\\ & =-\frac{F{x}^3}{6EI}+\frac{FL{x}^2}{2EI}+Cx+D\end{array}$$悬臂梁 $x=0$ 处转角和挠度均为 $0$
$$\begin{array}{rl}& \theta (0)=C=0\\ & w(0)=D=0\\ \therefore & C=0,D=0\\ \therefore & w(x)=-\frac{F{x}^3}{6EI}+\frac{FL{x}^2}{2EI}\end{array}$$自由端挠度为$$\begin{array}{rl}& \Delta =w(L)=\frac{F{L}^3}{3EI}\\ \therefore & F=\frac{3EI}{L^3}\Delta \end{array}$$ 悬臂梁刚度$$k=\frac{3EI}{L^3}\text{\hspace{1em}(9)}$$ 为消除截面及材料的影响，探究长度 $L$ 对悬臂梁刚度的影响，绘制相对刚度 $k/EI$ 随杆长 $L$ 变化的规律如图所示

简支梁

由简单的力平衡和扭矩平衡可知$$F_{\text{A}}=\frac{Fb}{L},F_{\text{B}}=\frac{Fa}{L}$$ $0\le x\le a$ 时，分析杆件 $x$ 左侧部分受力；$a\le x\le L$ 时，分析杆件 $x$ 右侧部分受力 $$M=\{\begin{array}{rl}-F_{\text{A}}x=-\frac{Fbx}{L}& (0\le x\le a)\\ -F_{\text{B}}\left(L-x\right)=\frac{Fa\left(x-L\right)}{L}& (a\le x\le L)\end{array}$$ 由式$(6)$有$$\begin{array}{r}\theta (x)=\{\begin{array}{rl}-\frac{Fb{x}^2}{2EIL}+C_1& (0\le x\le a)\\ \frac{Fa{x}^2}{2EIL}-\frac{Fax}{EI}+C_2& (a\le x\le L)\end{array}\end{array}$$由式$(7)$有$$\begin{array}{r}w(x)=\{\begin{array}{rl}-\frac{Fb{x}^3}{6EIL}+C_{1}x+D_1& (0\le x\le a)\\ \frac{Fa{x}^3}{6EIL}-\frac{Fa{x}^2}{2EI}+C_{2}x+D_2& (a\le x\le L)\end{array}\end{array}$$有四个待定系数：$C_1$、$C_2$、$D_1$、$D_2$，四个边界条件：$x=a$ 处转角和挠度函数均连续，$x=0$ 处和 $x=L$ 挠度为 $0$。即 $$\{\begin{array}{rl}\theta (a)& =-\frac{Fb{a}^2}{2EIL}+C_1=\frac{F{a}^3}{2EIL}-\frac{F{a}^2}{EI}+C_2\\ w(a)& =-\frac{Fb{a}^3}{6EIL}+C_{1}a+D_1=\frac{F{a}^4}{6EIL}-\frac{F{a}^3}{2EI}+C_{2}a+D_2\\ w(0)& =D_1=0\\ w(L)& =-\frac{Fa{L}^2}{3EI}+C_{2}L+D_2=0\end{array}$$解得$$\begin{array}{rl}{C}_1& =\frac{F{a}^3}{6EIL}-\frac{F{a}^2}{2EI}+\frac{FaL}{3EI}\\ C_2& =\frac{F{a}^3}{6EIL}+\frac{FaL}{3EI}\\ D_1& =0\\ D_2& =-\frac{F{a}^3}{6EI}\end{array}$$故有受力点处挠度$$\begin{array}{rl}\Delta =w(a)& =-\frac{Fb{a}^3}{6EIL}+\left(\frac{F{a}^3}{6EIL}-\frac{F{a}^2}{2EI}+\frac{FaL}{3EI}\right)a\\ & =\frac{F{a}^2}{6EIL}\left(-ab+2L^2+a^2-3aL\right)\\ & =\frac{F{a}^2}{6EIL}\left[-a(L-a)+2L^2+a^2-3aL\right]\\ & =\frac{F{a}^2}{6EIL}\left(2a^2-4aL+2L^2\right)=\frac{F{a}^2}{3EIL}{\left(L-a\right)}^2\\ & =\frac{F{a}^2{b}^2}{3EIL}\\ \therefore F=\frac{3EIL}{a^2{b}^2}\Delta & \end{array}$$简支梁刚度$$k=\frac{3EIL}{a^2{b}^2}\text{\hspace{1em}(10)}$$ 若记 $t=a/L$，用于表征受力点我位置，同时解耦长度和加载位置这两个影响因素，则式 $(10)$ 可以被改写为 $$k=\frac{3EI}{t^2(1-t{)}^2{L}^3}=EI\cdot \frac{3}{L^3}\cdot \frac{1}{t^2(1-t{)}^2}\text{\hspace{1em}(11)}$$ 可以看出，梁的长度 $L$ 对刚度的影响因子为 $3/L^3$ (这和悬臂梁是一样的)

位置对刚度的影响因子为 $1/[t^2(1-t{)}^2]$，其变化曲线如图

可见加载点越接近梁的中间，梁的刚度越小；加载点接近两端时，刚度接近于无穷大。

扭转杆件

$$\begin{array}{rl}\Theta & =\frac{ML}{GJ}\\ \therefore M& =\frac{GJ}{L}\Theta \end{array}$$
扭转杆件刚度$$k=\frac{GJ}{L}\text{\hspace{1em}(12)}$$ 为消除截面及材料的影响，探究长度 $L$ 对悬臂梁刚度的影响，绘制相对扭转刚度 $k/GJ$ 随杆长 $L$ 变化的规律如图所示

等效刚度的计算

等效弹簧 力学模型中，取代复杂系统中整个弹性元件组的等价效应的弹簧
等效刚度 (equivalent stiffness) 等效弹簧的刚度

并联刚度

并联

• 各弹性元件位移一致
• 系统恢复力为各弹性元件恢复力之和
  $$k_{\text{eq}}=\sum _1^n{k}_i\text{\hspace{1em}(13)}$$

举个栗子

$$k_{\text{eq}}=k_1+k_2$$

再举个栗子

$$k_{\text{eq}}=k_1+k_2+k_3$$

串联刚度

串联

• 各弹性元件恢复力一致
• 系统位移为各弹性元件位移之和
  $$\frac{1}{k_{\text{eq}}}=\sum _1^n\frac{1}{k_i}\text{\hspace{1em}(14)}$$

举个栗子

$$k_{\text{eq}}=\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}=\frac{k_1{k}_2}{k_1+k_2}$$

再举个栗子

由式$(11)$ $$k_1=\frac{G_1{J}_1}{L_1},k_2=\frac{G_2{J}_2}{L_2}$$ $${k}_{\text{eq}}=\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}=\frac{1}{\frac{L_1}{G_1{J}_1}+\frac{L_2}{G_2{J}_2}}=\frac{G_1{G}_2{J}_1{J}_2}{G_1{J}_1{L}_2+G_2{J}_2{L}_1}$$

串并联的综合

可见弹簧2、3并联后与弹簧1串联，故有
$$k_{\text{eq}}=\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2+k_3}}=\frac{k_1\left(k_2+k_3\right)}{k_1+k_2+k_3}$$

能量法

能量守恒 等效弹簧在任一时刻储蓄的势能均与原系统相等
$$\frac{1}{2}{k}_{\text{eq}}{\Delta }^2=\sum _1^n\frac{1}{2}{k}_i{\Delta }_i^2\text{\hspace{1em}(15)}$$

参考文献

[1] 鲍文博,白泉,陆海燕.振动力学基础与MATLAB应用[M].北京:清华大学出版社,2015:16~23.
[2] 刘鸿文.材料力学 I[M].北京:高等教育出版社,2017:186.