薄膜比拟、开口截面扭转承载力以及风电混塔水平缝张开状态下抗扭承载力推导

0. 背景

0.0 参考文献

1. Concrete Structures for Wind Turbines
2. Design aspects of concrete towers for wind turbines
3. 刘鸿文,《高等材料力学》

0.1 背景描述

文献[1][2]均给出了混塔水平缝张开状态下的抗扭承载力，但是这些结论如何得来的却并未给出过多解释。经过深入挖掘，终于找到了完整的脉络，本文将从薄膜比拟谈起，完成文献[1][2]给出的混塔水平缝张开状态下的抗扭承载力公式推导。

• 20230725记：今天突然发现吴家龙著的《弹性力学》有矩形截面扭转的更一般结论。这个问题有空再详细讨论，在这里先记一笔。

0.2 薄膜比拟

本小节内容引自文献[3]
当受扭杆件的截面形状比较复杂时，求得问题的解析解是十分困难的。薄膜比拟法不但有助于问题的求解，而且提供了一个试验方法的基础。

由于薄膜的挠度和扭转应力函数所对应的微分方程以及边界条件（选择恰当时）相同，那么就可以利用薄膜挠曲面的几何性质得出关于扭转的一些重要结论。

1. 薄膜挠度与扭转应力函数的微分方程

具体推导过程就不在这里赘述了，感兴趣的可以看文献[3]第九章，里面交代的很清楚。

如图1所示，在平板上开孔，使孔的形状和受扭杆件的横截面的形状相同。以均质薄膜张紧于孔的边界上，在均匀压力$p$的作用下，使薄膜产生微小挠度$z$，单位长度内的拉力为$T$。
于是，有竖向力平衡可以得出：
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=-\frac{p}{T}\text{\hspace{1em}(1)}$$
并且边界上有$z=0$。

与之对应的是扭转应力函数$\Phi （x，y）$的微分方程：
∂ 2 Φ ∂ x 2