加权有向图与最短路径问题(Dijstra算法,Java实现)

2023-11-02 00:38

本文主要是介绍加权有向图与最短路径问题(Dijstra算法,Java实现),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

目录

  • 1 加权有向图
    • 1.1 加权有向边的实现
    • 1.2 加权有向图的实现
  • 2 最短路径
    • 2.1 最短路径定义及性质
    • 2.2 松弛技术
    • 2.3 Dijstra算法思想
    • 2.4 Dijstra算法具体实现

1 加权有向图

加权无向图的边没有方向,一条边会同时出现在该边的两个顶点的邻接表中,为了能够处理含有方向性的图的问题,引入了加权有向图。

1.1 加权有向边的实现

API设计:

类名DirectedEdge
构造方法public DirectedEdge(int v, int w, double weight):通过顶点v、w以及权重weight构造一个边对象
成员方法1. public double weight():获取边的权重值
2.public int from():获取有向边的起点
3.public int to():获取有向边的终点
成员变量1.private final int v:起点
2.private final int w:终点
3.private final double weight:当前边的权重

代码:

public class DirectedEdge {private final int v;//起点private final int w;//终点private final double weight;//当前边的权重//通过顶点v、w以及权重weight构造一个边对象public DirectedEdge(int v, int w, double weight) {this.v = v;this.w = w;this.weight = weight;}//获取边的权重值public double weight(){return weight;}//获取有向边的起点public int from(){return v;}//获取有向边的终点public int to(){return w;}
}

1.2 加权有向图的实现

在加权无向图的基础上,把加权无向边替换成加权有向边即是加权有向图。

API设计:

类名EdgeWeightedDigraph
构造方法public EdgeWeightedDigraph(int V):创建一个含有V个顶点的空加权有向图
成员方法1.public int V():获取图中顶点的数量
2.public int E():获取图中边的数量
3.public void addEdge(DirectedEdge e):向加权有向图中添加一条边e
4.public Deque adj(int v):获取由顶点v指出的所有边
5.public Deque edges():获取加权有向图的所有边
成员变量1.private final int V:记录顶点数量
2.private int E:记录边数量
3.private Deque[] adj:邻接表

代码:

public class EdgeWeightedDigraph {//顶点总数private final int V;//边的总数private int E;//邻接表private Deque<DirectedEdge>[] adj;//创建一个含有V个顶点的空加权有向图public EdgeWeightedDigraph(int V) {//初始化顶点数量this.V = V;//初始化边的数量this.E = 0;//初始化邻接表this.adj = new Deque[V];for (int i = 0; i < adj.length; i++) {adj[i] = new LinkedList<>();}}//获取图中顶点的数量public int V() {return V;}//获取图中边的数量public int E() {return E;}//向加权有向图中添加一条边epublic void addEdge(DirectedEdge e) {//边e是有方向的,所以只需要让e出现在起点的邻接表中即可int v = e.from();adj[v].offer(e);E++;}//获取由顶点v指出的所有的边public Deque<DirectedEdge> adj(int v) {return adj[v];}//获取加权有向图的所有边public Deque<DirectedEdge> edges() {//遍历图中的每一个顶点,得到该顶点的邻接表,遍历得到每一条边,添加到队列中返回即可Deque<DirectedEdge> allEdges = new LinkedList<>();for (int v=0; v<V; v++){for (DirectedEdge edge : adj[v]) {allEdges.offer(edge);}}return allEdges;}
}

2 最短路径

加权有向图可以应用到实际生活中的很多场景,例如在地图中,找到顶点a与顶点b之间的路径,这条路径可以是距离最短,或者是时间最短,又或者是费用最小等,如果把距离/时间/费用看作成本,问题就转换为找到a和b之间成本最小的路径,即最短路径问题。

2.1 最短路径定义及性质

1 定义

在一副加权有向图中,从顶点s到顶点t的最短路径是指所有从顶点s到顶点t的路径中总权重最小的那条路径。

在这里插入图片描述

2 性质

  1. 路径具有方向性;
  2. 权重不一定是距离,也可以是时间、费用等内容,最短路径指的是总权重最低;
  3. 只考虑连通图。如果s和t不可达,它们之间就不存在最短路径,为了简化问题,这里只考虑连通图;
  4. 最短路径不一定唯一。从一个顶点到另一个顶点的最短路径可能有多条,这里只需找出一条即可;

3 最短路径树

  1. 给定一幅加权有向图和顶点s,以s为起点的一棵最短路径树是图的一幅子图,它包含起点s以及从s可达的所有顶点;
  2. 这棵有向树的根结点为s,树的每条路径都是有向图中的一条最短路径;

2.2 松弛技术

松弛这个词来源于生活:一条橡皮筋沿着两个顶点的某条路径紧紧拉开,如果这两个顶点之间的路径不止一条,还有存在更短的路径,那么把皮筋转移到更短的路径上,皮筋就可以放松了,松弛这种简单的原理刚好可以用来计算最短路径树。

边的松弛:

松弛边v->w意味着检查从s到w的最短路径是否是先从s到v,再从v到w:

  1. 如果是,将v-w这条边加入到最短路径树中,并更新edgeTo和distTo中的内容:edgeTo[w] = v->w,distTo[w] = distTo[v] + v->w的权重;
  2. 如果不是,忽略v->w;

顶点的松弛:

顶点的松弛是基于边的松弛完成的,只需要把某个顶点指出的所有边松弛,那么该顶点就松弛完毕。例如要松弛顶点v,只需遍历v的邻接表,把每一条边都松弛,那么顶点v就松弛了。

2.3 Dijstra算法思想

算法解析

  1. 找出权重最小的顶点;
  2. 对于该顶点的邻居,检查是否有前往它们的最短路径,如果有,就更新其权重(松弛);
  3. 重复这个过程,直到对图中的每个顶点都这样做了;

算法实现

  1. 成员变量edgeTo存储起点到当前顶点的最短路径的最后一条边,成员变量distTo存储起点到当前顶点的最短路径的总权重;
  2. 开始给定图G和起点s,初始化起点s到s的最短路径的总权重distTo[s]=0,起点s到其他顶点的总权重为无穷大;
  3. 随着算法的执行,不断使用松弛技术处理图的边和顶点,更新edgeTo和distTo中的数据,最终就得到了最短路径树;

2.4 Dijstra算法具体实现

类名DijkstraSP
构造方法public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s):根据一幅加权有向图G和顶点s,创建一个计算顶点为s的最短路径树对象
成员方法1.private void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v):松弛图G中的顶点v
2.public double distTo(int v):获取从起点s到顶点v的最短路径的总权重
3.public boolean hasPathTo(int v):判断从起点s到顶点v是否可达
4.public Deque pathTo(int v):查询从起点s到顶点v的最短路径中所有的边
成员变量1.private DirectedEdge[] edgeTo:索引代表顶点,值表示从起点s到当前顶点的最短路径上的最后一条边
2.private double[] distTo:索引代表顶点,值为从起点s到当前顶点的最短路径的总权重
3.private indexMinPriorityQueue pq:存放树中顶点与非树中顶点之间的有效横切边

代码:

public class DijkstraSP {//索引代表顶点,值表示从顶点s到当前顶点的最短路径上的最后一条边private DirectedEdge[] edgeTo;//索引代表顶点,值表示从顶点s到当前顶点的最短路径的总权重private double[] distTo;//存放树中顶点与非树中顶点之间的有效横切边private IndexMinPriorityQueue<Double> pq;//根据一副加权有向图G和起点s,创建一个计算起点为s的最短路径树对象public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s){//初始化edgeTothis.edgeTo = new DirectedEdge[G.V()];//创建一个和图的顶点数一样大小的double数组,表示权重,并且初始化数组中的内容为无穷大,无穷大即表示不存在这样的边this.distTo = new double[G.V()];for (int i = 0; i < distTo.length; i++) {distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;}//创建一个和图的顶点数一样大小的索引最小优先队列,存储有效横切边this.pq = new IndexMinPriorityQueue<>(G.V());//默认让顶点s进入树中,但s顶点目前没有与树中其他的顶点相连接,因此初始化distTo[s]=0.0distTo[s] = 0.0;//使用顶点s和权重0.0初始化pqpq.insert(s,0.0);//遍历pqwhile(!pq.isEmpty()){//松弛图G中的顶点relax(G, pq.delMin());}}//松弛图G中的顶点vprivate void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v){//松弛顶点v就是松弛顶点v邻接表中的每一条边,遍历邻接表for (DirectedEdge edge : G.adj(v)) {//获取到该边的终点wint w = edge.to();//通过松弛技术,判断从起点s到顶点w的最短路径是否需要先从顶点s到顶点v再由顶点v到顶点wif (distTo(v) + edge.weight() < distTo(w)){distTo[w] = distTo[v] + edge.weight();edgeTo[w] = edge;//如果顶点w已经存在于索引最小优先队列pq中,则重置顶点w的权重if (pq.contains(w)){pq.changeItem(w, distTo(w));}else{//如果顶点w没有出现在优先队列pq中,则把顶点w及其权重加入到pq中pq.insert(w, distTo(w));}}}}//获取从顶点s到顶点v的最短路径的总权重public double distTo(int v){return distTo[v];}//判断从顶点s到顶点v是否可达public boolean hasPathTo(int v){return distTo[v]<Double.POSITIVE_INFINITY;}//查询从起点s到顶点v的最短路径中所有的边public Deque<DirectedEdge> pathTo(int v){//如果顶点s到v不可达,则返回nullif (!hasPathTo(v)){return null;}//创建队列保存最短路径的边Deque<DirectedEdge> allEdges = new LinkedList<>();//从顶点v开始,逆向寻找,一直找到顶点s为止,而起点s为最短路径树的根结点,所以edgeTo[s]=nullwhile (true){DirectedEdge e = edgeTo[v];if (e==null){break;}allEdges.offer(e);v = e.from();}return allEdges;}
}
public class Test {public static void main(String[] args) {EdgeWeightedDigraph g = new EdgeWeightedDigraph(8);DirectedEdge e1 = new DirectedEdge(4,5,0.35); DirectedEdge e2 = new DirectedEdge(4,7,0.37);DirectedEdge e3 = new DirectedEdge(5,7,0.28); DirectedEdge e4 = new DirectedEdge(5,4,0.35);DirectedEdge e5 = new DirectedEdge(7,5,0.28); DirectedEdge e6 = new DirectedEdge(5,1,0.32);DirectedEdge e7 = new DirectedEdge(0,4,0.38); DirectedEdge e8 = new DirectedEdge(0,2,0.26);DirectedEdge e9 = new DirectedEdge(7,3,0.39); DirectedEdge e10 = new DirectedEdge(1,3,0.29);DirectedEdge e11 = new DirectedEdge(2,7,0.34); DirectedEdge e12 = new DirectedEdge(6,2,0.40);DirectedEdge e13 = new DirectedEdge(3,6,0.52); DirectedEdge e14 = new DirectedEdge(6,0,0.58);DirectedEdge e15 = new DirectedEdge(6,4,0.93);g.addEdge(e1);g.addEdge(e2);g.addEdge(e3);g.addEdge(e4);g.addEdge(e5);g.addEdge(e6);g.addEdge(e7);g.addEdge(e8);g.addEdge(e9);g.addEdge(e10);g.addEdge(e11);g.addEdge(e12);g.addEdge(e13);g.addEdge(e14);g.addEdge(e15);//根据图g和顶点0,构建PrimMST对象DijkstraSP dsp = new DijkstraSP(g, 0);//获取起点0到顶点6的最短路径Deque<DirectedEdge> edges = dsp.pathTo(6);//打印输出for (DirectedEdge edge : edges) {System.out.println(edge.from() + "->" + edge.to() + ":" + edge.weight());}}
}
3->6:0.52
7->3:0.39
2->7:0.34
0->2:0.26

注:

类IndexMinPriority可在索引最小优先队列的实现_sc179的博客-CSDN博客中找到

这篇关于加权有向图与最短路径问题(Dijstra算法,Java实现)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/326889

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