几何向量：Angle/SignedAngle函数解析

      最近又跑去温习基础数序去了，没办法，人对某个事物的永久记忆是七次理解才能达成，所以抽空写一些常用的数学计算。

      在二维和三维开发中，计算向量之间夹角属于很常见的操作，在数学中我们可以使用下面：

       1.余弦定理，如果我们知道三边的情况下，使用余弦定理可以计算出任意角的角度，如图：      

        2.点乘（点积），我们可以通过点乘（点积）推导出：

               a·b = |a|*|b|*cosθ

               cosθ = (a·b)/(|a|*|b|)

        可以回过头去看下上面的公式定理和推导，加深记忆，接下来我们就在unity中实现一下，代码如下：

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;public class AngleTest : MonoBehaviour
{void Start(){CalculateVector2Angle();CalculateVector3Angle();}private void CalculateVector2Angle(){Vector2 a = new Vector2(1, 3);Vector2 b = new Vector2(2, 8);Vector2 c = b - a;float apiangle = Vector2.Angle(a, b);float cosangle = Mathf.Acos((a.x * a.x + a.y * a.y + b.x * b.x + b.y * b.y - c.x * c.x-c.y*c.y) / (2 * Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y))) * Mathf.Rad2Deg;float dotangle = Mathf.Acos((a.x * b.x + a.y * b.y) / (Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y))) * Mathf.Rad2Deg;
#if UNITY_EDITORDebug.LogFormat("vector2 apiangle = {0} cosangle = {1} dotangle = {2}", apiangle, cosangle, dotangle);
#endif}private void CalculateVector3Angle(){Vector3 a = new Vector3(1, 3, 5);Vector3 b = new Vector3(2, 8, 4);Vector3 c = b - a;float apiangle = Vector3.Angle(a, b);float cosangle = Mathf.Acos((a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z + b.x * b.x + b.y * b.y + b.z * b.z - c.x * c.x - c.y * c.y - c.z * c.z) / (2 * Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y + b.z * b.z))) * Mathf.Rad2Deg;float dotangle = Mathf.Acos((a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z) / (Mathf.Sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z) * Mathf.Sqrt(b.x * b.x + b.y * b.y + b.z * b.z))) * Mathf.Rad2Deg;
#if UNITY_EDITORDebug.LogFormat("vector3 apiangle = {0} cosangle = {1} dotangle = {2}", apiangle, cosangle, dotangle);
#endif}
}

      因为我们对几何公式的理解，所以很容易实现这个Angle的功能，如果你细心你会发现一点，这个Angle函数不带顺逆时针旋转，也就是不带正负号。

      如果你是认真学习了三角函数，那么应该知道，在二维坐标系中，逆时针旋转方向的夹角为正角，如下图：

     那么三维中呢？这里有个叫做左手旋转定则的规范，文字描叙就是：伸出左手，大拇指翘起，四指握拳，那么大拇指指向旋转轴方向（比如Z轴），则其余四指旋转方向就是正角方向。改造一下上面的二维坐标系旋转夹角标识图到三维则如下：

      拿左手比划一下就看得出来了，那么我们可以默认认为，一般情况下，我们做二维中角度相关计算，虚拟Z轴指向纸内。

      回到需要谈论的问题，那就是Angle计算是不带顺逆时针判断的，也就是不带正负号，那么我们需要构建一个函数，它既计算了夹角，又判断了顺逆时针方向。

      unity提供了我们Vector.SingedAngle这个API去获取带正负号的夹角。

      如果我们设计这个函数的话，用叉积很方便，因为叉积就是判断顺逆时针旋转的，想象一下Vector2扩展出Z轴，同时两个Vector2向量a和b的扩展出的Vector3向量a'和b'的叉积向量c，那么向量c的z值正负号可以用来判断夹角的正负号，使用上面说的左手规则即可。函数设计如下：

private void CalculateVector2SingedAngle(Vector2 a, Vector2 b){float apiangle = Vector2.SignedAngle(a, b);Vector3 a3d = new Vector3(a.x, a.y, 0);Vector3 b3d = new Vector3(b.x, b.y, 0);float crossangle = Vector2.Angle(a, b) * Mathf.Sign(Vector3.Cross(a3d, b3d).z);#if UNITY_EDITORDebug.LogFormat("vector2 apiangle = {0} crossangle = {1}", apiangle, crossangle);
#endif}void Start(){Vector2 a = new Vector2(1, 3);Vector2 b = new Vector2(2, 8);CalculateVector2SingedAngle(a,b);a = new Vector2(1, 7);b = new Vector2(2, 8);CalculateVector2SingedAngle(a, b);a = new Vector2(-1, -7);b = new Vector2(2, 8);CalculateVector2SingedAngle(a, b);}

   那么Vector3.SingedAngle怎么去理解呢？先看下官方的函数设计，如下：

       看得出来吧，因为三维向量可以是任意朝向的，那么我们就必须限定一个旋转轴，不然我们怎么确定左手规则的大拇指朝向呢？那么我们来设计这个函数，两个Vector3向量a和b，他们的叉积向量c，我们就把向量c当做旋转轴，那么永远是正角，因为向量c是通过ab叉积反推出来的，向量c的左手规则四指旋转方向就是a到b的夹角正方向，所以如下：

private void CalculateVector3SingedAngle(Vector3 a, Vector3 b){Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);Vector3 axis = cross;float apiangle = Vector3.SignedAngle(a, b, axis);float crossangle = Vector3.Angle(a, b);
#if UNITY_EDITORDebug.LogFormat("vector3 apiangle = {0} crossangle = {1}", apiangle, crossangle);
#endif}void Start(){Vector3 a = new Vector3(1, 3, 10);Vector3 b = new Vector3(2, 8, 4);CalculateVector3SingedAngle(a, b);a = new Vector3(1, 5, 2);b = new Vector3(2, 8, 5);CalculateVector3SingedAngle(a, b);a = new Vector3(-1, -7, -10);b = new Vector3(2, 4, -9);CalculateVector3SingedAngle(a, b);a = new Vector3(-1, 7, 8);b = new Vector3(2, -3, -5);CalculateVector3SingedAngle(a, b);}

        那如果我们使用其他旋转轴去当做axis参数呢？就需要判断axis和cross的夹角是否大于无符号90°，大于说明旋转相反了。函数设计如下：

 private void CalculateVector3SingedAngle(Vector3 a, Vector3 b){Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);Vector3 axis = new Vector3(1, -5, 4);float apiangle = Vector3.SignedAngle(a, b, axis);float crossangle = Vector3.Angle(a, b) * Mathf.Sign(90 - Vector3.Angle(cross, axis));
#if UNITY_EDITORDebug.LogFormat("vector3 apiangle = {0} crossangle = {1}", apiangle, crossangle);
#endif}

        稍微画一个示意图吧，如下：

     使用左手规则比划一下是不是发现，旋转方向随着θ和β角度不同而相反。

     好了，偶尔写一篇几何数学函数详解，顺便学英语。