day56--动态规划14

•  1143.最长公共子序列 

•  1035.不相交的线   

•  53. 最大子序和  动态规划 

第一题：最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

• 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
• 输出：3
• 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

本题特点在于子序列不是连续的，但是有相对顺序。动态规划五部曲：

（1）确定dp数组以及下标含义

dp[i][j]：长度为[0,i-1]的字符串text1与长度为[0,j-1]的字符串text2的最长公共子序列长度为dp[i][j]

（2）确定递推公式

主要是两种情况：text1[i-1]和text2[j-1]相同，text1[i-1]和text2[j-1]不相同

如果相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

如果不相同，那就看text1[0,i-2]与text2[0,j-1]的最长公共子序列和text1[0,i-1]和text2[0,i-1]的最长公共子序列，取最大的

即：dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

（3）dp数组初始化

第一行和第一列：dp[i][0]     dp[0][j]分别的对应的两个串都有一个是空串，意味着最长公共子序列长度为0，所以两个初始化为0

（4）确定遍历顺序

根据递推公式，可以从三个方向推出dp[i][j]

dp[i][j]=dp[i-1][j]

dp[i][j]=dp[i][j-1]

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

（5）举例推导dp数组

对两个数组依次遍历，如果两者相同，最长子序列就+1；如果不相同，仍旧取前面最大的最长子序列。

第二题：不相交的线

我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。

现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。

实际上也是求最长子序列的大小；

跟上题思路一样；具体代码实现也一样

第三题：最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

• 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
• 输出: 6
• 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]

（2）确定递推公式

dp[i]只能由两个方向推出：

当加上当前nums[i]之后，和变大了，所以dp[i]=dp[i-1]+nums[i]

从头计算：dp[i]=nums[i]    也就是前面的累和为负，出现了新的正数

取最大的：dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);

（3）dp数组如何初始化

dp[i]来自于dp[i-1]，所以从前到后遍历，且dp[0]=nums[0]开始

（4）确定遍历顺序

从前到后

（5）举例推导

首先，dp[0]=-2

dp[1]=max(dp[0]+nums[1],nums[1])=1   从头开始

dp[2]=max(dp[1]+nums[2],nums[2])=-2

。。。

总结：序列求满足条件的子序列长度或者子序列和，如果需要将子序列表示出来，需要用二叉树