java实现克鲁斯卡尔算法

应用背景

1. 某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G) ，现在需要修路把7个站点连通
2. 各个站点的距离用边线表示(权)，比如A~B距离12公里
3. 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

克鲁斯卡尔算法介绍

1. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
2. 基本思想: 按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
3. 具体做法: 首先构造一个只含n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤:
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一 很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

在将<E,F> <C,D> <D,E> 加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点:
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F.
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F.
关于终点的说明：

1. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后:某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2. 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。[ 后面有代码说明]

实现代码

package ShangGuiGu.Kruskal;import javax.swing.text.EditorKit;/*** 克鲁斯卡尔算法*/
public class KruskalCase {private int edgeNum;private char[] vertexs; //顶点数组private int[][] matrix; //邻接矩阵//使用INF代表两个顶点不能连通private static final int INF=Integer.MAX_VALUE;//构造器public KruskalCase(char[] vertexs,int[][] matrix){this.vertexs=vertexs;this.matrix=matrix;//统计边的条数 邻接矩阵右上角for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i+1; j < vertexs.length; j++) {if (this.matrix[i][j]!=INF){this.edgeNum++;}}}}public static void main(String[] args) {char[] vertexs= {'A','B','C', 'D', 'E','F','G'};//克魯斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][]= {/*A*/  /*B*//*C*/ /*D*/ /*E*/ /*F*//*G*//*A*/ { 0,   12,  INF,  INF,  INF,  16,  14},/*B*/ { 12,  0,   10,   INF,  INF,  7,   INF},/*C*/ { INF, 10,  0,    3,    5,    6,   INF},/*D*/ { INF, INF, 3,    0,    4,    INF, INF},/*E*/ { INF, INF, 5,    4,    0,    2,   8},/*F*/ { 16,  7,   6,    INF,  2,    0,   9},/*G*/ { 14,  INF, INF,  INF,  8,    9,   0}};//大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.//创建KruskalCase对象实KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase( vertexs, matrix);//输出构建的kruskalCase.kruskal();kruskalCase.kruskal();}public void kruskal(){int index=0;//用于保存"已有最小生成树”中的每个顶点在最小生成树中的终点int[] ends=new int[edgeNum];//存放选取的边集合EData[] rets=new EData[edgeNum];//获取到图中的边EData[] eData=getEdges();//将所有的边按权值进行排序sortEdges(eData);//遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路,如果没有，就加入rets,否则不能加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {//获取到第i条边的第一个顶点(起点)int p1=getPosition(eData[i].start);//获取到第i条边的第2个顶点int p2=getPosition(eData[i].end);//获取pl这个顶点在已有最小生成树中的终点int m=getEnd(ends,p1);//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n=getEnd(ends,p2);//是否构成回路if (m!=n){ends[m]=n; //设置m在"已有最小生成树"中的终点rets[index++]=eData[i];}}//打印最小生成树for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}/***获取下标为i的顶点的终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends 数组 就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i 表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标*/public int getEnd(int[] ends,int i){while (ends[i]!=0){i=ends[i];}return i;}/*** 获取顶点间所有的边（实例）集合* @return*/public EData[] getEdges(){EData[] edges = new EData[edgeNum];int index = 0; //边的下标for (int i = 0; i < this.vertexs.length; i++) {for (int j = i+1; j < this.vertexs.length; j++) {//找到一条边if (this.matrix[i][j]!=INF){//start=this.vertexs[i]  end=this.vertexs[j] weight=this.matrix[i][j]edges[index++]=new EData(this.vertexs[i],this.vertexs[j],this.matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 对边集合进行排序（按照权值weight） 冒泡排序* @param edges*/public void sortEdges(EData[] edges){for (int i = 0; i < edges.length-1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length-i-1; j++) {if (edges[j].weight>edges[j+1].weight){EData tempEdge=edges[j];edges[j]=edges[j+1];edges[j+1]=tempEdge;}}}}/*** 获取顶点对应的下标* @param vertex* @return*/public int getPosition(char vertex){for (int i = 0; i < this.vertexs.length; i++) {if (this.vertexs[i]==vertex){return i;}}return -1;}}//该类实例代表一条边
class EData{char start; //边的一端（顶点）char end;   //边的另一端（另一个顶点）int weight; //距离（权值）public EData(char start,char end,int weight){this.start=start;this.end=end;this.weight=weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData[<"+start+","+end+">,"+"weight:"+weight+"]";}
}