本文主要是介绍Optimal Auction Design 最优拍卖论文笔记，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
分享一篇经典的myerson 的拍卖设计机制论文。
1, Introduction
针对seller 给众多竞价者拍卖物品，如何获得最大的收益的问题，本文提出一种较普遍的优化方法(construct such optimal auctions for a wide class of sellers' auction design problems).
2, Basic Definitions and Assumptions
（本节声明一些基本的概念）
约定一个seller 准备出售某个商品(object)，有n个bidders。每个bidder i 对该object有一个估计的价值ti (i's value estimate)，也即其最大可承担的竞价。
名词约定：
- 假设ti 对上下限为 ai, bi, 竞价者bider i 的value estimate distribute 即出价分布函数为fi，fi(ti) > 0，而且fi 为一个在区间[ai, bi]上连续的函数。
- 对应的累计密度函数Fi 即： Fi(ti) = ∫ ai ti fi(si) dsi; Fi(ti) 也是seller 对竞拍者bidder i 的竞价<= ti 的估计概率。
- T 表示bidders 对估计价值ti 的所有可能组合： [a1, b1] * [a2, b2] * .. * [an, bn]
- T-i 表示除去bidder i 之外对所有bidders 的估计价值的组合之和
- 假设所有n个竞价者是相互独立对随机变量，即其联合概率分布为所有fi(*) 的乘积。
各个竞拍者出价独立的两个主要因素：1，偏好不确定，此时竞拍者i 了解到对竞拍者j 的出价信息不影响i 去修改自己的出价，2，对商品的质量（价值）的估计不确定 (quality uncertainly)，此时竞拍者i 了解到对竞拍者j 的出价信息后会修改自身的出价。
假设存在n个出价调整函数 ej: [ai, bi]，表示另一个竞拍者i 获知到tj 是竞拍者j 对商品的价值估计后修改自身出价的方式，ej(tj)=0即对自身出价的了解不影响其原始出价。如果i 获知了全部 t=(t1, .., tn) 的出价信息后，i将修改其对商品的估计价值为（公式 2.7）：
相应的，seller 获得N个竞价者对出价后重新调整其对自身的估价为（公式 2.8）：
小结：
- f(ti) 即竞拍者i 对商品的价值估计为ti 的概率分布函数。
- vi(t) 即竞拍者i 考虑其他竞拍者对商品的价值估计后，修正的价格估计。
3, Feasible Auction Mechanisms
（本节阐述可行性拍卖机制的基本条件）
以直接报价机制(direct revelation mechanisms) 为例展开。
给定估计报价t=(t1, .. tn), 直接报价机制的支出函数outcome functions (p, x) ，其中pi(t) 即竞拍者i 商品竞拍成功的概率，xi(t) 即此时i 给seller 的期望付费金额。
约定seller 和所有竞拍者都是中性风险倾向的，对商品有各自的独立的收益函数(utility function)，竞拍者i 的期望效用函数是 （公式 3.1）：
其中，f-i 即竞拍者i 和平台方 seller 估计除去i 之外的各竞拍者的出价的联合概率分布（独立，独立分布的乘积），之所以不包含自身的出价概率分布函数，是因为假定竞拍者已经按给定的出价ti以给定的概率pi 获得商品为一确定性事件。
解释： 即竞拍者对商品本身估计的价值收益v*p - 竞拍者为这个商品付出的成本 的累计积分。
与之相对应，seller 对这次竞拍的期望收益为 （公式 3.2）：
解释：即庄家不出售商品时自身对其的价值估计 v0(1-sum(p)) + 出售商品时从竞拍者处获得的支付收益 的累计。
对(p, x) 的一些约束条件：
- 公式3.3：（概率约束 probability constraints） 由于每次只有一个商品拍卖，所以有 ：
- 公式3.4：（个体理性约束 individual-rationality constraints）由于seller不能强制竞拍者参加，所以需要保证每个竞拍者参与进来的收益非负才有动力参加，即 ：
假设竞拍者有隐瞒自己的估计从而期望获得额外收益，这时候应该保证诚实报价的状态是一种纳什均衡状态。假设竞拍者i 声称si 是他的声称估计而ti是他的真实估价，那么他的期望效益函数为：
说明：竞拍者i 获得物品的收益变成受两个因素的影响 pi(t -i, si)， 为拍得商品支付的成本xi 也是。
- 公式3.5： （激励相容约束 incentive-compatibility constraints）从而，为保证每个竞拍者都没有动力隐瞒报价，需要满足如下的激励相容的条件（隐瞒后的期望收益更小）：
本文称满足以上3个条件的拍卖机制是可行的feasible。that is, if the seller plans to allocate the object according to p and to demand monetary payments from bidders according to x, then the scheme can be implemented, with all bidders willing to participate honesty.
在一个一般性的拍卖中，每个bidder有一些候选策略 Theta_i, 以及其对应的收益函数：
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