计算方法的稳定性 | 误差来源之舍入误差 | 数值计算基本原则

本文主要是介绍计算方法的稳定性 | 误差来源之舍入误差 | 数值计算基本原则，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

计算方法的稳定性

在实际数值计算过程中，由于不可避免地存在和不断产生各种误差，因此计算结果不是绝对精确的。如果误差使得计算结果和实际情况有较大差别或者出现错误的结果，则数值 计算便失去了价值和意义。因此，分析数值计算过程中误差的来源和传递规律，设法控制和减小误差。

1.误差的来源

来源：固有误差（模型误差、观测误差）和计算误差（截断误差、舍入误差）

舍入误差：

设s是r进制数，p是r进制正负整数或零，则形如
$$x=s\times r^p$$
并满足
$$-1<s<1$$
的数x，称为r进制浮点数，且s和p分别称为浮点数的尾数和阶数。

任何一种计算机只能用有限的位数来表示浮点数的尾数和阶数。设
$$-m\le p\le M$$
其中$m,M$为正整数，它们主要由计算机用多少位数来表示阶数而决定。如果尾数的小数尾数为t（t一般比m，M的位数大若干倍），则计算机的数系由一切阶数满足$-1<s<1$的t位r进制浮点数的集合F组成。可见，在计算机数系中，数的个数有限，数系中的每一个数都是有理数，且阶数相等的数以相等的距离分布在数轴的某一段上。

由于计算机数系是有限集，不仅无理数$e,\pi$等不属于计算机数系，而且一些有理数（如$1/3$）也属于计算机数系，因此常常用计算机数系中和它们接近的数来表示它们。同时，在利用计算机进行计算时，由于字长限制，参与计算的数的长度也是有限的，而由此产生的误差，称为舍入误差。

例1：

浮点数F的集合可以用以下4个参数来描述：
{ F } ≡ { β , t , L , U } \{F\}\equiv \{\beta,t,L,U\} {F}≡{β,t,L,U}
其中，$\beta$为基数，t是精度参数，整数L与U是阶码E（范围）的下限和上限$[L,U]$。

这样，F中的每一个浮点数x的值可表示为：
$$x=\pm (\frac{d_1}{\beta }+\frac{d_2}{{\beta }^2}+\cdots +\frac{d_t}{{\beta }^t})\cdot {\beta }^E$$
式中的整数$d_1，\cdots ,d_t$满足$0\le d_t\le \beta -1,(i=1,\cdots ,t)$，同时又$L\le E\le U$（E是整数）。

如果对F中每个非零的x，有$d_1\ne 0$，则称浮点数系F为规格化浮点数系。括号中的部分$f=(d_1/\beta +d_2/{\beta }^2+\cdots +d_t/{\beta }^t)$称为尾数。我们知道，一个实数常用【整数+小数点+尾数】的形式表示，它们在计算机中对应的浮点数$[{\beta }^t\cdot f]$则常用某种整数表示方式（例如以原码、反码或补码的形式）存储。

例2：求十进制数系与计算机采用的二进制数系之间的差别

解：以在许多算法中常被选作步长的十进制0.1为例。在$\beta =2$或者为2的幂的浮点数系中，10个0.1的步长并不刚好等于一个1.0的步长。事实上，当把$\frac{1}{10}$转换成为以$\frac{1}{2}$为底的幂的有限项展开式时，有：
$$\frac{1}{10}=\frac{0}{2^1}+\frac{0}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{0}{2^6}+\frac{0}{2^7}+\cdots$$
用下标表示数基，如果$\beta =2$，则有：
$$(0.1)=(0.000110011001100\cdots {)}_z$$
如果$\beta =8$，则
$$(0.1)=(0.063146314\cdots {)}_s$$
由于字长限制，等号右边的值只能取7位。很明显，当把10个这样的数相加时，其结果并不正好是1.0。这就是舍入误差造成的。所以，在计算机上进行的浮点运算（四则运算）只能是近似计算。

观测误差和数据的舍入误差虽然来源不同，但对计算结果的影响完全一样。在数值计算中涉及的误差一般指舍入误差（包含初始数据误差）和截断误差。

2 计算方法的稳定性

计算方法的稳定性是指数值计算中是否稳定的问题。在数值计算过程中，数值解是逐步计算出来的。由于计算机的字长有限，每一步计算都有误差存在，且前一步的舍入误差必然要影响下一步的近似解。如果运算序列的舍入误差不增长。误差的积累或传递对计算结果的影响是可控的，则该算法是数值稳定的，否则是数值不稳定的。

3. 数值计算的基本原则

评价一个数值计算方法优劣的标准：

• 计算时间复杂度（运算次数或计算时间），包括收敛性问题
• 计算空间复杂度（占用计算机存储空间）
• 计算结果精确度（包括稳定性问题）

构造和选择一个好的计算方法：

1. 避免两个相近的数相减

在数值计算过程中，两个相近的数相减，会严重损失有效数字，从而使相对误差变大。

如果两个相近的数相减，常采用变换的公式进行计算。如果计算公式不能改变，则采用增加有效数字位数的方法。

2. 避免使用绝对值很小的数作分母

3. 两个相差很大的数进行运算时，防止大数“吃掉”小数

4. 简化计算步骤，减少运算次数

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