几种图灵斑（Turing Patterns）的简单matlab演示（BZ反应、Gray-Scott模型、LE模型）

惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。

0 引言

1952年艾伦·图灵在他的论文中the chemical basisof morphogenesis（形态发生的化学基础）中，给出图灵斑图的大概概念，从数学和化学的角度，揭示了生物体表面斑纹的产生机理。

这种图灵斑图产生机理是一种反应-扩散体系，之后在多种生物、化学、地理等学科被观测到，可以说是一种遍布于大自然的普适性的规律。

本文以三种经典模型为例，介绍图灵斑图的matlab数值仿真方法。由于本人不是相关领域的研究人员，所以主要注重于数值计算方面，而不涉及图灵斑图相关的化学反应机理、非线性分岔等。

相关参考资料如下：
[1] Morphology of Experimental and Simulated Turing Patterns (2009)
[2] Simulating the Belousov-Zhabotinsky reaction (2017) https://scipython.com/blog/simulating-the-belousov-zhabotinsky-reaction/
[3] 一个演示Gray–Scott model的网址： http://www.karlsims.com/rdtool.html
建议用Chrome浏览器打开
[4]matlab区域填充_图灵斑图与反应扩散方程——Matlab的实现
https://blog.csdn.net/weixin_30278943/article/details/112067158
[5] The Lengyel–Epstein Reaction Diffusion System (2020)
[6] Machine learning with Patterns based on Lengyel-Epstein model
https://github.com/standing-o/Machine-learning_with_Patterns_based_on_Lengyel-Epstein_model
[7] 混乱博物馆-图灵斑图：生命图案的奥秘 https://zhuanlan.zhihu.com/p/29118927
[8] Reaction-Diffusion Model as a Framework for Understanding Biological Pattern Formation (2010)
[9] Gray-Scott-Complex Patterns in a Simple System (1993)
[10] 一类离散反应扩散捕食系统的分岔和斑图自组织研究(杨洪举)

列的东西杂七杂八的，毕竟也不是啥正经论文，大概按照重要性顺序列了一下。

下面举的图灵斑仿真例子，实际上就是求解某个数学方程的解。所以下面代码需要有简单的数值分析基础，只要知道如何简单离散解偏微分方程就可以。数值方法后文中也会稍微有所涉及，但不会太详细。

1 BZ震荡反应

BZ反应是在1958年由Belousov和Zhabotinski发现而得名。
模型可以简单被写为下面三个方程：

$$\begin{gathered} A+B\to 2A \\ B+C\to 2B \\ C+A\to 2C \end{gathered}$$

每个量下一时刻的值，会随上一时刻的变量而改变，可以被写作：
$$\begin{gathered} A_{t+1}=A_t+A_t(\alpha B_t-\gamma C_t) \\ {B}_{t+1}=B_t+B_t(\beta C_t-\alpha A_t) \\ {C}_{t+1}=C_t+C_t(\alpha A_t-\beta B_t) \end{gathered}$$

这里取常数$\alpha =1.2$，$\beta =1$，$\gamma =1$。

且为了模拟反应扩散，下一步计算时，还需要对该变量取周围8个变量取平均，作为当前网格点的值。在matlab里，用imfilter函数来实现。

初始值定义为0~1之前的随机数。

代码如下：

clear
clc
close all
% Belousov-Zhabotinsky反应
%构建网格
dt=0.5;%时间步长
N=500;%网格总数量
dx=1;%网格大小
x=dx*(1:N);
[X,Y]=meshgrid(x,x);
%初始化，采用随机初始化
A0=rand(size(X));
B0=rand(size(X));
C0=rand(size(X));%方程初常数
alpha=1.2;
beta=1;
gamma=1;%微分方程求解
F=ones(3)/8;F(2,2)=0;
A_Old=A0;
B_Old=B0;
C_Old=C0;
for k_t=1:600%模拟扩散项A_Old=imfilter(A_Old,F,'circular');B_Old=imfilter(B_Old,F,'circular');C_Old=imfilter(C_Old,F,'circular');%1阶时间精度A_New=A_Old+A_Old.*(alpha*B_Old-gamma*C_Old)*dt;B_New=B_Old+B_Old.*(beta*C_Old -alpha*A_Old)*dt;C_New=C_Old+C_Old.*(gamma*A_Old- beta*B_Old)*dt;A_Old=A_New;B_Old=B_New;C_Old=C_New;%绘图if k_t>50 && mod(k_t,2)==1figure(1)clfpcolor(X,Y,A_New);shading interpcaxis([0,1])pause(0.01)end
end

可以看到BZ震荡反应典型的两个图案：震荡和螺旋。

2 Gray Scott模型

Gray Scott模型是一种典型的反应扩散系统。其方程可以写作：
$$\begin{gathered} U+2V\to 3V \\ V\to P \end{gathered}$$
用来计算的微分方程可以写作：
$$\begin{gathered} \frac{\partial U}{\partial t}=D_U\Delta U-U{V}^2+F(1-U) \\ \frac{\partial V}{\partial t}=D_V\Delta V+U{V}^2-(F+k)V \end{gathered}$$

前面时间t项，用一阶时间精度计算，即：
$$\frac{\partial U}{\partial t}=\frac{U_{t+1}-U_t}{dt}$$

本文研究的是二维xy平面的方程的解，所以后面的拉普帕斯方程展开为：
$$\Delta U={\nabla }^{2}U=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}$$
这一部分可以离散化，构造出5点差分格式和9点差分格式。其中9点差分格式精度更高，但是计算速度更慢。这里假设网格均匀划分，dx=dy。定义中间$U_{i,j}$表示x方向第i个网格，j方向第j个网格，则5点差分格式为：
$$\Delta U=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}=\frac{U_{i+1,j}-2\ast U_{i,j}+U_{i-1,j}+U_{i,j+1}-2\ast U_{i,j}+U_{i,j-1}}{{dx}^2}$$
9点差分格式为：
$$\begin{gathered} \Delta U=\frac{-20\ast U_{i,j}+4U_{i+1,j}+4U_{i-1,j}+4U_{i,j+1}+4U_{i,j-1}}{{6dx}^2} \\ +\frac{U_{i-1,j-1}+U_{i+1,j-1}+U_{i-1,j+1}+U_{i+1,j+1}}{{6dx}^2} \end{gathered}$$

因此最上面的微分方程的离散格式可以写作：
$$\begin{gathered} U_{t+1}=U_t+(D_U\frac{U_{i+1,j}-2\ast U_{i,j}+U_{i-1,j}+U_{i,j+1}-2\ast U_{i,j}+U_{i,j-1}}{{dx}^2}-U{V}^2+F(1-U))dt \\ {V}_{t+1}=V_t+(D_V\frac{V_{i+1,j}-2\ast V_{i,j}+V_{i-1,j}+V_{i,j+1}-2\ast V_{i,j}+V_{i,j-1}}{{dx}^2}+U{V}^2-(F+k)V)dt \end{gathered}$$

接下来是常数、边界、初始值的选取。

常数（理解之前，尽量不要动这些常数）：
时间步长dt=0.2，空间网格dx=1
Du=5.0*dt/dx^2
Dv=2.5*dt/dx^2
F=0.0340
k=0.0590
这里F、k的选取，参照http://mrob.com/pub/comp/xmorphia/

边界条件采用循环边界条件，实现方法为，用circshift函数来获取$U_{i+1,j}$之类的信息，这样就自然的满足了循环条件。

初始值U=1,V=0。之后随机选取一小部分区域的V设置为1，作为扰动。

最终效果如下：

计算代码如下：

clear
clc
close all
% Gray Scott模型%构建网格
dt=0.1;%时间步长
N=800;%网格总数量
dx=1;%网格大小
x=dx*(1:N);[X,Y]=meshgrid(x,x);
U0=ones(size(X));
V0=zeros(size(X));%初始化
for k=1:5ind1=randi([1,N])+(1:30);ind2=randi([1,N])+(1:60);if any(ind1>N) || any(ind2>N)continueendV0( ind1 , ind2 )=1;
V0(V0>1)=1;
end%方程初常数
Du=5*dt/dx^2;
Dv=2.5*dt/dx^2;
F=0.0340;
k=0.0590;%微分方程求解
U_Old=U0;
V_Old=V0;
for k_t=1:N*50%1阶时间精度U_New=U_Old+(Du*Laplace_Diff5(U_Old,dx)-U_Old.*V_Old.^2+F*(1-U_Old))*dt;V_New=V_Old+(Dv*Laplace_Diff5(V_Old,dx)+U_Old.*V_Old.^2-(F+k)*V_Old)*dt;U_Old=U_New;V_Old=V_New;%绘图if mod(k_t,400)==1figure(1)clfpcolor(X,Y,U_New);shading interpcaxis([0,1])pause(0.01)end
endfunction L = Laplace_Diff5(U,dx)
%5点Laplace差分格式
%U_nn=circshift(U,[1,1]);%U_(i-1,j-1)
U_0n=circshift(U,[1,0]);%U_(i,j-1)
%U_pn=circshift(U,[1,-1]);%U_(i+1,j-1)U_n0=circshift(U,[0,1]);%U_(i-1,j)
U_00=circshift(U,[0,0]);%U_(i,j)
U_p0=circshift(U,[0,-1]);%U_(i+1,j)%U_np=circshift(U,[-1,1]);%U_(i-1,j+1)
U_0p=circshift(U,[-1,0]);%U_(i,j+1)
%U_pp=circshift(U,[-1,-1]);%U_(i+1,j+1)L=(U_p0-2*U_00+U_n0+U_0p-2*U_00+U_0n)/1/dx^2;
endfunction L = Laplace_Diff9(U,dx)
%9点Laplace差分格式
U_nn=circshift(U,[1,1]);%U_(i-1,j-1)
U_0n=circshift(U,[1,0]);%U_(i,j-1)
U_pn=circshift(U,[1,-1]);%U_(i+1,j-1)U_n0=circshift(U,[0,1]);%U_(i-1,j)
U_00=circshift(U,[0,0]);%U_(i,j)
U_p0=circshift(U,[0,-1]);%U_(i+1,j)U_np=circshift(U,[-1,1]);%U_(i-1,j+1)
U_0p=circshift(U,[-1,0]);%U_(i,j+1)
U_pp=circshift(U,[-1,-1]);%U_(i+1,j+1)L=(-20*U_00+4*U_p0+4*U_n0+4*U_0p+4*U_0n+U_nn+U_pn+U_np+U_pp)/6/dx^2;
end

变化过程中的动图如下：

3 LE模型（CIMA反应）

CIMA反应是1990年，由Castets等人研究并发现的。Lengyel、Rabai 和 Epstein 等人提出了一种相应的反应扩散模型，用于CIMA反应的数值分析，被称为 Lengyel-Epstein (LE) 模型。

其方程可以写作：
$$\begin{gathered} \alpha \to U \\ U\to V \\ 4U+V\to \Omega \\ S+U\leftrightarrow SU \end{gathered}$$

其微分方程可以写作：
$$\begin{gathered} \frac{\partial U}{\partial t}=\Delta U+a-U-4\frac{UV}{1+U^2} \\ \frac{\partial V}{\partial t}=\sigma [c\Delta V+b(U-\frac{UV}{1+U^2})] \end{gathered}$$

同上文第二章，将方程离散化，时间项采用一阶欧拉法，拉普拉斯项采用相应的5点或9点差分格式。

接下来是常数、边界、初始值的选取：

常数（理解之前，尽量不要动这些常数）：
时间步长dt=0.002，空间网格dx=0.5。因为这个方程比较容易发散，时间精度一阶也比较差，所以只能靠调小时间步长来解决发散问题。
$\sigma =20$
$c=20$
这里a、b的选取，参照论文：Morphology of Experimental and Simulated Turing Patterns (2009)
我给几个示例：
a=12.2，b=0.30 图灵斑1
a=12.8，b=0.28 图灵斑2
a=12.0，b=0.37 孔洞图案

边界条件采用循环边界条件，实现方法为，用circshift函数来获取$U_{i+1,j}$之类的信息，这样就自然的满足了循环条件。

初始值U=3.5,V=7.5。之后随机背景增加了0.1的噪声。

程序代码如下：

clear
clc
close all
% LE模型%构建网格
dt=0.002;%时间步长
N=300;%网格总数量
dx=0.5;%网格大小
x=dx*(1:N);[X,Y]=meshgrid(x,x);
U0=ones(size(X))*3.5;
V0=ones(size(X))*7.5;
%初始化，添加随机数
U0=U0+0.1*(2*rand(size(U0))-1);
V0=V0+0.1*(2*rand(size(U0))-1);
F=fspecial('gaussian',5,0.5);
U0=imfilter(U0,F,'circular');
V0=imfilter(V0,F,'circular');%方程初常数
Si=20;
c=1;
%图灵斑
a=12.2;
b=0.3;
%孔洞
a=12;
b=0.37;
% %图灵斑2
% a=12.8;
% b=0.28;%微分方程求解
U_Old=U0;
V_Old=V0;
for k_t=1:round(250/dt)%1阶时间精度F=U_Old.*V_Old./(1+U_Old.^2);U_New=U_Old+(Laplace_Diff5(U_Old,dx) +a-U_Old-4*F)*dt;V_New=V_Old+Si*(c*Laplace_Diff5(V_Old,dx)+b*U_Old-b*F)*dt;U_Old=U_New;V_Old=V_New;%绘图if mod(k_t,1500)==1figure(1)clfpcolor(X,Y,U_New);shading interppause(0.01)end
endfunction L = Laplace_Diff5(U,dx)
%5点Laplace差分格式
%U_nn=circshift(U,[1,1]);%U_(i-1,j-1)
U_0n=circshift(U,[1,0]);%U_(i,j-1)
%U_pn=circshift(U,[1,-1]);%U_(i+1,j-1)U_n0=circshift(U,[0,1]);%U_(i-1,j)
U_00=circshift(U,[0,0]);%U_(i,j)
U_p0=circshift(U,[0,-1]);%U_(i+1,j)%U_np=circshift(U,[-1,1]);%U_(i-1,j+1)
U_0p=circshift(U,[-1,0]);%U_(i,j+1)
%U_pp=circshift(U,[-1,-1]);%U_(i+1,j+1)L=(U_p0-2*U_00+U_n0+U_0p-2*U_00+U_0n)/1/dx^2;
endfunction L = Laplace_Diff9(U,dx)
%9点Laplace差分格式
U_nn=circshift(U,[1,1]);%U_(i-1,j-1)
U_0n=circshift(U,[1,0]);%U_(i,j-1)
U_pn=circshift(U,[1,-1]);%U_(i+1,j-1)U_n0=circshift(U,[0,1]);%U_(i-1,j)
U_00=circshift(U,[0,0]);%U_(i,j)
U_p0=circshift(U,[0,-1]);%U_(i+1,j)U_np=circshift(U,[-1,1]);%U_(i-1,j+1)
U_0p=circshift(U,[-1,0]);%U_(i,j+1)
U_pp=circshift(U,[-1,-1]);%U_(i+1,j+1)L=(-20*U_00+4*U_p0+4*U_n0+4*U_0p+4*U_0n+U_nn+U_pn+U_np+U_pp)/6/dx^2;
end

设置不同的a和b，输出的结果也会有所不同，会呈现出从斑图到点图的各种变化。

图灵斑图的演示：

动图演示：

点状图的演示：

动图演示：