一元函数积分学的应用

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一、研究对象

1. 函数 $f(x).$
2. 函数列 $f_n(x).$
3. 用参数方程所给出的函数；
4. 偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x}.$
5. 变限积分函数 ${\int }_a^{x}f(t)dt.$
6. 微分方程的解函数 $f(x).$

二、研究内容

1. 面积：

$$S={\int }_a^b|y_1(x)-y_2(x)|dx$$
$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }|r_1^2(\theta )-r_2^2\theta |d\theta$$
$$S={\int }_a^{b}y(t)dx(t)={\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)\cdot x^{\prime }(t)|dt$$
$$椭圆面积公式：S=\pi ab$$

2. 体积

$$绕x轴：V={\int }_a^b\pi y^2(x)dx$$
$$绕y轴：V=2\pi {\int }_a^{b}x|y(x)|dx$$

3. 均值

$$\bar{y}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}y(x)dx，注：平均值是积分中值定理中的\xi$$

4. 弧长

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$
$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$
$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$

5. 表面积

$$y(x)绕x轴：S=2\pi {\int }_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$
$$y(t)绕x轴：S=2\pi {\int }_a^b|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dx$$

6. 形心

$$\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}xdy}{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}dy}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$$
$$\bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }yd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}ydy}{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}dy}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

7. 平行截面面积

$$V={\int }_b^{a}S(x)dx$$

三、积分等式与不等式

积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$ ，使得： $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

本节内容需结合中值定理及相关例题理解，也是压轴题的出题点。

四、物理应用

1. 总路程

$$S={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$$
其中 $v(t)$ 为时间 $t_1$ 到 $t_2$ 上的速度函数，积分即得总位移（路程） $S$ 。

2. 变力沿直线做功

设方向沿 $x$ 轴正向的力函数为 $F(x)(a\le x\le b)$ ，则物体沿 $x$ 轴从点 $a$ 移动到点 $b$ 时，变力 $F(x)$ 所做的功为：$$W={\int }_a^{b}F(x)dx$$功的元素 $dW=F(x)dx$ 。

3. 提取物体做功

$$W=\rho g{\int }_a^{b}xA(x)dx$$其中 $\rho$ 为液体密度，$g$ 为重力加速度。

功的元素 $dW=\rho gxA(x)dx$ 为位于 $x$ 处厚度为 $dx$ ，水平截面面积为 $A(x)$ 的一层水被抽出（路程为 $x$ ）所做的功。

值得注意的是，抽水做功类问题中可能会出现瓶内外液体密度相同因此液体本身不做功的情况。

4. 静水压力

垂直浸没在水中的平板 $ABCD$ 的一侧收到的水压力为 $P=\rho g{\int }_a^{b}x[f(x)-h(x)]dx$ ，其中 $\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度。

压力元素 $dP=\rho gx[f(x)-h(x)]dx$ 是矩形条所受到的压力，$x$ 表示水深，$f(x)-h(x)$ 是矩形条的宽度，$dx$ 是矩形条的高度。

5. 细杆质心

设直线段上的线密度为 $\rho (x)$ 的细直杆，则其质心为：$$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}x\rho (x)dx}{{\int }_a^b\rho (x)dx}$$