Bzoj 1696: [Usaco2007 Feb]Building A New Barn新牛舍中位数,数学

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1696: [Usaco2007 Feb]Building A New Barn新牛舍

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Description

经过多年的积蓄，农夫JOHN决定造一个新的牛舍。他知道所有N(2 <= N <= 10,000)头牛的吃草位置，所以他想把牛舍造在最方便的地方。每一头牛吃草的位置是一个整数点(X_i, Y_i) (-10,000 <= X_i <= 10,000; -10,000 <= Y_i <= 10,000)。没有两头牛的吃草位置是相邻的。 JOHN决定把牛舍造在一个没有牛吃草的整数点上。如果牛舍在(X, Y)，在(X_i, Y_i)的牛到牛舍的距离是|X-X_i|+|Y-Y_i|。 JOHN把牛舍造在哪儿才能使所有牛到牛舍的距离和最低？

Input

第1行：一个数，N。

第2~N+1行：第i+1行包含第i头牛的位置(X_i, Y_i)。

Output

第1行：两个数，最小距离和和所有可能达到这个距离和的牛舍位置的数目。

Sample Input

4
1 -3
0 1
-2 1
1 -1

输入解释：

一共有4头牛，位置分别为(1, -3), (0, 1), (-2, 1), 和(1, -1).

Sample Output

10 4

输出解释：
最小距离和是10，可以在牛舍位于 (0, -1), (0, 0), (1, 0), (1, 1)时达到。

HINT

Source

Gold

题解：

由于题目要求总距离最小，所以就可以想到找中位数。

然而证明并不会。。。自己找度娘。。。

把x，y分别排序。

如果牛的个数为奇数，我们就分别取x,y排好序的中点。然后判断是否有牛。若没有就取当前这个点，若有就去找上下左右四个点中最小值和最小值的个数。(题目保证了牛不相邻)

如果为偶数，中位数有两个(x1,y1),(x2,y2)。则答案的个数为(x2-x1+1)*(y2-y1+1)-中间有牛的个数。

具体看程序：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define INF 1e9
 4 int x[10010],y[10010],xx[10010],yy[10010];
 5 int fx[5]={0,0,1,-1};
 6 int fy[5]={1,-1,0,0};
 7 int read()
 8 {
 9     int s=0,fh=1;char ch=getchar();
10     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')fh=-1;ch=getchar();}
11     while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+(ch-'0');ch=getchar();}
12     return s*fh;
13 }
14 int main()
15 {
16     freopen("newbarn.in","r",stdin);
17     freopen("newbarn.out","w",stdout);
18     int n,i,nn,x1,y1,x2,y2,sum,j,gs,mn;
19     n=read();
20     for(i=1;i<=n;i++)x[i]=read(),y[i]=read(),xx[i]=x[i],yy[i]=y[i];
21     sort(xx+1,xx+n+1);
22     sort(yy+1,yy+n+1);
23     if(n%2!=0)
24     {
25         nn=(n+1)/2;
26         x1=xx[nn];
27         y1=yy[nn];
28         for(j=1;j<=n;j++)if(x[j]==x1&&y[j]==y1)break;
29         if(j<=n)
30         {
31             mn=INF;gs=0;
32             for(i=0;i<=3;i++)
33             {
34                 x2=x1+fx[i];
35                 y2=y1+fy[i];
36                 sum=0;
37                 for(j=1;j<=n;j++)
38                 {
39                     sum+=(int)fabs(x[j]-x2)+(int)fabs(y[j]-y2);
40                 }
41                 if(sum<mn)
42                 {
43                     mn=sum;gs=1;
44                 }
45                 else if(sum==mn)gs++;
46             }
47             printf("%d %d",mn,gs);
48             return 0;
49         }
50         sum=0;
51         for(i=1;i<=n;i++)
52         {
53             sum+=(int)fabs(x[i]-x1)+(int)fabs(y[i]-y1);
54         }
55         printf("%d 1",sum);
56     }
57     else
58     {
59         nn=n/2;
60         sum=0;
61         x1=xx[nn];
62         y1=yy[nn];
63         sum=0;
64         for(i=1;i<=n;i++)
65         {
66             sum+=(int)fabs(x[i]-x1)+(int)fabs(y[i]-y1);
67         }
68         x2=xx[nn+1];
69         y2=yy[nn+1];
70         gs=(x2-x1+1)*(y2-y1+1);
71         for(i=1;i<=n;i++)
72         {
73             if(x[i]>=x1&&x[i]<=x2&&y[i]>=y1&&y[i]<=y2)
74             {
75                 gs--;
76             }
77         }
78         printf("%d %d",sum,gs);
79     }
80     fclose(stdin);
81     fclose(stdout);
82     return 0;
83 }