凸数据集与凸函数

凸数据集

如果一个数据集D是凸的，那么对于其中任意的两点x,y∈D，θ∈R,0≤θ≤1,

则 θ x + ( 1 − θ ) y ∈ D
表达式θx+(1−θ)y被称作点x , y 的凸性组合(convex combination)

通俗的讲，就是数据集D中任意两点的连线上的点，也在数据集D内，那么数据集D就是一个凸集。
如下图，左边非凸，右边为凸

常见的凸数据集：
1.$R^n$,n维实数空间，由定义可知
2.凸集的交集
3.n维半正定矩阵的集合
等

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_19528953/article/details/88600926

凸函数

定义

一个函数f : $R^n$ → R，如果它的域D(f)是一个凸集，

那么函数f 就是一个凸函数
几何上，任意两点的连线在这两点函数部分的上面。

判定方法

1. 一阶充分必要条件(不好用)
   对于凸集D(f), 任意两点x,y ∈ D, 有
   $f(y)$≥$f(x)$+${\nabla }_x$$f(x{)}^T$$(y-x)$

2. 二阶充分必要条件
   ${\nabla }_x^2$$f(x)$≥0

3. 举例子
   i. 指数函数 是凸函数,如 f(x)=$e^{ax}$ , a∈R
   其二阶导数$f^{\prime \prime }(x)$ = $a^2$ $e^{a x} $