用Python学《微积分B》（多元函数Taylor公式）

本文主要是介绍用Python学《微积分B》（多元函数Taylor公式），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

  从一元微分到多元微分，主要把握这两点差异：一是导数变偏导数，二是叠加。从向量的角度来看，更容易理解：导数（偏导数）表征的是变化率，一元函数导数表示的是一个维度上的变化率，而多元函数导数表示的多个维度变化率，它等于各个分量（维度）上的变化率（偏导数）的叠加。循着这个原则，我们来看一下多元函数的Taylor公式展开。

一、Taylor’s theorem in 1D

  先来回顾一下一元函数的Taylor公式（wiki - Taylor’s theorem）
1，Taylor级数

$$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdot \cdot \cdot$$
也可以记为
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
注：math is fun - Taylor series对Taylor级数也有简单有趣的介绍。
2，Taylor展开
$$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdot \cdot \cdot + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o[(x-a)^{k}]$$
  这个就是Peano余项形式的Taylor展开式，它应用的是小o标记法。这个公式的核心思想是：“任意 n 阶可导函数”都可以展开为它在 x=a 处的导数为系数的 n+1 次多项式。
  注意两点：一是用多项式近似函数；二是前提条件—— “ n 阶可导”。

二、Taylor’s theorem in 2D

1，定理（Lagrange余项Taylor公式）
  设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 的某个邻域内具有 n+1 阶连续偏导数，当 $(a+\Delta x, b + \Delta y)$ 在此邻域内时，则有

$$f(a+\Delta x, b + \Delta y) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}[\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}]^k f(a,b) + \frac{1}{(n+1)!}[\Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y}]^{n+1} f(a + \theta \Delta x,b + \theta \Delta y)$$
  这就是二元函数的Taylor公式，其中 $0 < \theta < 1$，前一部分是和式，后一部分是Lagrange余项。
2，简单推导
  下面我从一元函数的Taylor公式和多元函数链导法来推导二元函数的Taylor公式，其中用到函数构造法。可以参考wiki-Taylor’s theorem
一元函数Taylor公式如下

f(a+Δx)=f(a)+f′(a)Δx+12f′′(a)(Δx)2+⋅⋅⋅+1n!f(n)(a)(Δx)n

这篇关于用Python学《微积分B》（多元函数Taylor公式）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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