全通滤波的级联实现EQ filter(一)

上一篇文章引入了dynamic EQ这个概念，就是动态EQ的意思，就是EQfilter的系数是按照sample点实时更新的。目前EQ filter都是使用biquard，filter type包括lowpass/highpass/bandpass/lowshelf/highshelf/peaking filter，每种滤波器有cutofffrequency/Q/gain这三个参数可调。通常设置好各段EQ的参数后，初始化的时候统一计算各个滤波器的系数，之后EQ参数都是固定的滤波，这叫静态的EQ。动态EQ则会随着信号的大小实时的更新滤波器系数来达到不同信号幅度不同的滤波效果，如果按照业内的EQ filter计算公式，运算量会比较大，当EQ段数增加时更不可接受，而且我们发现动态EQ只改变了EQ filter的gain参数。

最开始在dsp-related论坛上看到有人说可以采用全通滤波器级联的方式来实现EQ filter，后面发现自己经常翻的一本书DAFx^[1]第二章里面有详细介绍，并查阅到文献[2]详细分析了全通滤波器级联可实现1阶的lowshelf/highshelf filter和2阶的peakingfilter，大大简化了EQ filter的滤波器系数的计算。下面分析这两种滤波器怎样用全通级联来实现。

1. 一阶lowshelf/highshelf

首先以lowshelf为例，文献[2]的结论得知lowshelffilter的系统函数可以用如下全通滤波器通过简单的级联即可实现：

         上式中K表示滤波器的增益，K为2表示6dB增益，而全通滤波器的系数计算只需要计算a：

         上式中Ω表示归一化截止频率，对应lowshelffilter的截止频率，a固定的情况下，全通滤波器A(z)固定，滤波的过程无需改变，滤波器增益的改变只需要改变K即可。如下图为a固定的情况下，改变K的滤波器频响图：

         上图发现确实K值对应了lowshelffilter的最大增益，但发现当增益为衰减的时候，频响有些不正常，如果K设置为2和0.5频响应该关于横轴对称。

         文献[1]中，一阶lowshelffilter用全通滤波实现的公式如下：

其中H0表示如下:

将上式带入(2.40)可得：

上式和文献[2]的F(z)完全一样，其中V0对应于K，但是全通滤波的系数如下，B表示boost，C表示cut：

         上式中boost情况的系数和a一样，而cut的情况就不能和boost使用一样的公式计算全通滤波器的系数了，所以文献[2]中boost和cut的频响并不是横轴对称的，而下图文献[2]中是完全对称的：

因此，对于boost和cut的lowshelffilter计算还不一样，boost中全通滤波的计算不用考虑增益这个参数，所以gain更新全通无需更新；cut情况的滤波过程gain更新了还要更新全通滤波器的系数，当然不更新全通滤波器也可以，只是滤波器频响更陡一些。

参考文献：

[1] U. Z¨olzer.Digital Audio Signal Processing. John Wiley & Sons, Ltd, 2nd edition, 2005.

[2]PHILLIP A. REGALIA and SANJIT K. MITRA. Tunable Digital Frequency ResponseEqualization Filters.