阿白数模笔记之模拟退火算法（simulated annealing，SA）

本文主要是介绍阿白数模笔记之模拟退火算法（simulated annealing，SA），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前言（preface）

模拟退火简介（brief introduction of SA）

实例分析（Case analysis）

①初始参数（Initial parameters）

②寻找全局最优解（Find the global optimal solution）

③迭代过程图示

模拟退火算法的不足（shortcoming）

①马尔科夫链长（length of Markov chain）

②初始解（initial solution）

③衰减系数（Attenuation coefficient）

总结（summmary）

前言（preface）

在使用梯度下降法或牛顿法寻找最优解时，对下图的 BCD 四点，都可能"误入歧途"陷入局部最优解，这是因为在迭代的过程中自动舍弃了旧解，而SA 通过一定概率保留旧解（Metropolos准则），从而可能跳出局部最优解，找到全局最优解。

x=linspace(0,9,10000);
f=@(x) x+10*sin(3*x)+cos(x);
y=f(x);
plot(x,y,'b-','linewidth',1);
legend('y=x+10sin3x+cosx','location','northwest')

模拟退火简介（brief introduction of SA）

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。——百度百科

实例分析（Case analysis）

①初始参数（Initial parameters）

t0=20000;    %初始温度（initial temperature）
tend=1e-7;   %结束温度 （final temperature）
l=400;       %马尔科夫链长（length of Markov chain）
a=0.98;      %衰减系数 （Attenuation coefficient）
s1=3;      %初始解（Initial solution）

②寻找全局最优解（Find the global optimal solution）

Metropolos准则:从 $E_{n}\rightarrow E_{n+1}$ 的接受概率为 $P=\begin{cases} & \text1,{ } E_{n+1}<E_{n} \\ & \text e^{(E_{n}-E_{n+1})/T},{ } E_{n+1}\geq E_{n} \end{cases}$

tset=1;p=1;    %记录迭代次数
y0=f(s1);      %记录解
while t0>tend  %退火过程实施k=1;    while k<=l %内层循环if (0<s1)&&(s1<9) %定义域内snew=s1+0.01*(2*rand(1)-1); elseif s1<=0snew=s1+0.01*rand(1);elsesnew=s1-0.01*rand(1);endif f(snew)<f(s1)s1=snew;elser=rand(1);if r<exp((f(s1)-f(snew))/t0)  %Metropolos准则s1=snew;endendk=k+1;endt0=t0*a;tset=[tset,p];p=p+1;y0=[y0,f(s1)];
end

③迭代过程图示

需要注意的是，对一组参数应执行多次取最优；同时，还应当调整初始解等参数横向对比

figure,plot(tset,y0,[tset(1),tset(end)],[min(y),min(y)],'linewidth',1);
legend('simulated annealing','min(f)');
title('SA')
xlabel('Iterations');ylabel('solutions')