《Pseudo-dynamics model of a cantileverbeam for animating flexible leaves and branches in wind fiel》

读书报告下载链接： 

风场中用于模拟柔性树叶和树枝的悬臂梁伪动力学模型 

作者：Shaojun Hu, Tadahiro Fujimoto and Norishige Chiba

发表时间：2009 年 6 月 1 日

发表会议：Computer Animation and Virtual Worlds

1 引言

       模拟树木在风场中的运动是自然现象动画领域最具挑战性的课题之一。为了获得逼真和高效的树木运动效果，人们提出了许多技术，包括随机方法、基于物理的方法和混合方法。Shinya and Fournier（1992）提出了一种随机方法来模拟风场，树枝的运动被模拟为均匀的梁。Stam（1997）提出了一种模态分析方法，并利用谱合成算法来预测树木的周期运动。Diener et al.（2009）扩展了 Stam 的方法，引入了一种改进的预计算技术，可以模拟数千棵树的大场景。Weber and Penn（1995）模拟了简单的树木运动，他们还将树段建模为均匀的梁。Ota et al.（2004）开发了一种实时混合(主要是随机)方法来生成树叶的自然运动和树枝在风场中摇摆。最近，Habel et al.（2009）提出了一种物理引导的方法来制作树木动画。在他们的模拟中，树枝被建模为锥形悬臂梁，并通过运动纹理设置动画。然而，这些研究中很少关注单个叶子的动画，特别是灵活的叶子。即使是考虑到树叶运动的研究人员，也只把树叶视为有纹理的四边形，以提高效率。此外，大多数研究都假定主干和树枝为刚性段或均匀的直梁。虽然树枝模型在 Habel et al.（2009）中已经从均匀梁改进为锥形梁，但它仍然不能涵盖可能弯曲的树枝的自然形状。此外，许多研究使用动力学方程来模拟树木的运动，但很少讨论如何设置阻尼因子和弹簧因子。最接近本文研究的模型是 Habel et al.（2009）的模型，在该模型中，根据树枝的长度引入了不同的固有频率，并提到了阻尼是模拟树枝运动的关键。然而，他们没有讨论𝑓0和𝑒的组合可能会产生明显不同的枝叶运动。本文建立了悬臂梁的拟动力学模型，重点模拟了弯曲树枝和柔性树叶的运动。虽然 Shinya and Fournier（1992）中应用了均匀梁的动力学方程来模拟分支的振动，但在曲线梁的振动仍然是一个具有挑战性的问题。因此，本文提出了一种拟动力学梁模型，而不是求解精确的动力学方程。

2 静态均衡模型

         当受到外力时，枝条和叶柄像悬臂梁一样弯曲和扭曲（Niklas, 1992）。因此，可以根据悬臂梁理论得到枝条和叶柄的平衡形状。在工程领域中，均匀梁(在下文中，将把“悬臂梁”简称为“梁”)在小载荷作用下的偏差很容易确定（Miyamoto and Kikuchi, 1987)；然而，当梁承受大载荷时，偏差问题变得复杂，需要用 Bisshopp and Drucker（1945）中描述的椭圆积分或 Gonzalez and LLorca（2005）、Rao and Rao（2007）中讨论的数值 方法来求解。此外，这些工程技术不能处理弯曲梁在三维空间中受任意力的弯曲问题。 在本文的模型中，为了简化起见，在梁理论的基础上将梁模型转化为弹簧模型；同时， 为了提高效率，忽略了弯矩的连续影响，避免了求解隐式函数。

弯曲梁的静力平衡模型

 弯曲的特点

薄板的静态平衡模型

       该方法适用于树枝、针叶或阔叶叶柄等线状物体，但不能直接应用于阔叶叶片。阔叶的变形是复杂的，寻找一种通用的方法来覆盖所有种类的阔叶是一个具有挑战性的问题。为了简单起见，本文重点介绍了两种植物：一种是初级静脉和次级静脉具有相似弹性的片状叶片；另一种是初级静脉僵硬、次级静脉灵活的叶片。 

 3 悬臂梁的运态运动

        为了模拟分支的动力学，Chuang et al.（2005）对分支分段进行了参数化，在分支末端应用了质量弹簧系统，并获得了每个分段的位移。当树枝易于参数化时，这种方法是有效的，但很难找到一个参数函数来描述弯曲树枝的变形。在本文的模拟中，由于已经得到了曲梁的静态平衡位置，剩下的问题是如何确定输入力F𝑖。

基于质点弹簧系统的动力学模型

        弯曲梁动力运动的精确求解是一个复杂的问题。本文将基于质量弹簧系统的动力学模型与弯曲梁的静力平衡模型相结合，解决了这一问题。与精确解相比，本文称这种“伪”动力学为伪动力学。

和e的组合

       第一种情况是较高的和较小的𝑒的组合。图 6(a)中的波束响应显示位置急剧变化，并有明显的波峰和波谷。第二种情况是图 6(b)中所示的高和相对大的𝑒的组合。虽然响应曲线变化很快，但仍保持输入信号的形状，没有明显的波峰和波谷。图 6(c)显示了具有较低和相对较大𝑒的光束的响应。在这种情况下，响应类似于第二种情况，但信号变化较慢。最后一种情况是低和相对较小的𝑒的组合，如图 6(d)所示。反应与第一种情况相似，但信号变化相对较慢。此外，小阻尼器和大阻尼器之间存在明显的差异。即使当风压在零以上时，𝑒较小的响应曲线也经常超过零点(图 6(a)和图 6(d))。相反，𝑒很大的光束的响应永远不会超过零点(图 6(b)和图 6(c))。
       为了查看不同湍流风速下的响应结果，本文通过将 Beta 值设置为 1.0 来改变风谱。图 6(e)-(h)显示了在更湍动的风场中的响应曲线。与图 6(a)-(d)相比，当=1.0Hz 时，虽然响应几乎没有差别，但与 Beta=3.0 时的稳定风情况下的响应几乎相似。如果将从1.0Hz 逐渐增加到更高的频率值，则响应将受到湍流的影响越来越大。这些结果可能表明，当较小时，动力学对湍流的高频波束的成分不敏感，反之亦然。
        对 James and Haritos（2006）、Moore and Maguire（2004, 2005）中树木固有频率的测量表明，大多数树木的小于 2.0Hz。因此，对于高固有频率界限，本文将𝑓0设置为1.0Hz 至 2.0Hz 范围内的值，对于低固有频率界限，将设置为小于 1.0Hz 的值。关于阻尼比𝑒，将阈值设置为 0.1，根据 Hino（1977）将低阻尼值分为小阻尼值和大阻尼值。此外，当≥为 2.0Hz 时，输入湍流对系统的响应有较大影响。可以经验性地利用这种来模拟僵硬(枯萎)的叶子或没有叶子的树枝。 

 4 应用：树叶和树枝的动力学

要模拟风与树枝、风与树叶之间的相互作用，需知道树枝和树叶属于哪种组合情况。

(1)选择𝐟𝟎

(2)选择𝐞

       由于缺乏对树木能量损失机制的了解，很少有研究尝试对衰减进行建模（Moore and Maguire, 2004）。冠层结构对阻尼比的影响研究表明，当冠层被移除时，阻尼比减小（Moore and Maguire, 2005）。
       以此类推，可以推断，有许多子枝和叶子的枝条可能比没有子枝和叶子的枝条具有更大的𝑒，而具有较大叶片的叶柄可能比具有较小叶片的叶柄具有更大的𝑒。
       因此，短、粗、硬的分支(叶柄)很可能对应于第一种情况；相反，具有许多子枝和叶(大叶)的细长 而灵活的分支(叶柄)将具有低的和大的𝑒，从而对应于第三种情况。此外，短、粗、硬的分枝(叶柄)具有大量的子枝和叶(大叶)可能类似于第二种情况，而第四种情况对应于长、细、灵活的分枝(叶柄)，很少有子枝和叶(小叶)。  

风模型

5 结果

       在本文附带的视频中，演示了不同和𝑒组合的单个树枝运动的各种模拟结果；此外，本文通过比较无重力树枝和另一个受重力影响的树枝的动力学来展示重力对树枝的影响。为了显示叶片的各种运动，在视频中，还比较了两种类型的樱桃叶片和两种不同参数的郁金香杨树叶片的模拟结果。最后，本文将树枝和树叶放在一起，模拟了两种树 枝和树叶物种。使用表 1 中描述的参数为樱桃树枝模型制作了动画。图 7(a)显示了风向指向负 z 轴时的动画帧图像，图 7(b)是图 7(a)的放大场景。当将风向改为 x 轴时，樱桃枝的模拟结果显示了另一个运动，如图 7(c)所示。图 7(d)和图7(e)显示了带叶的郁金香杨树树枝的模拟结果。与樱桃枝条相比，该模型具有较粗的短枝和较细的长叶柄，叶片较大，因此为主枝部分选择了相对较大的，为叶部分选择了较小的和较大的𝑒 (表 1)。与动画相关的电影展示了这两个分支的不同运动。樱桃枝模拟的最终 FPS 约为 1.8，三角形为 191k，郁金香杨枝模拟的 FPS 约 1.2，三角形为 117k。使用的计算机环境是 3 GHz 奔腾 D CPU，带有 128MB 的 NVIDIA GeForce 6600 GT 显卡。

6 讨论

优点

（1）提出了一种弯曲梁的静力平衡模型，获得枝条或叶柄的静止形状，并将其扩展到叶片变形。
（2）基于弹簧系统的动力学模型，建立了能够处理弯曲梁在湍流中运动的伪动力学模型。
（3）将梁的动力响应按和𝑒分为四种情况，并介绍了确定树枝和树叶的和𝑒的准则。
（4）应用拟动力学模型，实现了带叶树枝在风场中的运动。  

缺点

（1）表示每个树叶的三角形面片太多，会极大影响计算效率。
（2）叶片变形模型较少，以覆盖更多的树叶种类。
（3）有待探索其它力（如自然雨水，外界拉拽等）作用时树枝树叶的动画模拟。

 参考文献

Bisshopp KE, Drucker DC. 1945. Large deflection of cantilever beams. Quarterly of Applied Mathematics, 3(3): 272~275.
Chuang YY , Goldman DB, Zheng KC, Curless B, Salesin D, Szeliski R. 2005. Animating pictures with stochastic motion textures. In Proceedings of ACM SIGGRAPH, 24(3): 853~860.
Diener J, Rodriguez M, Baboud L, Reveret L. 2009. Wind projection basis for real-time animation of trees. Computer Graphics Forum, 28(2).
Gonzalez C, LLorca J. 2005. Stiffness of a curved beam subjected to axial load and large displacements. International Journal of Solids and Structures, 42(5): 1537~1545.
Habel R, Kusternig A, Wimmer M. 2009. Physically guided animation of trees. Computer Graphics Forum, 28(2).
Hino M. 1977. Spectral Analysis. Asakura-shoten Press: Tokyo.James KR, Haritos N, Ades PK. 2006. Mechanical stability of trees under dynamic loads. American Journal of Botany, 93(10): 1522~1530.
Miyamoto H, Kikuchi M. 1987. Material of Mechanics. Shoukabou Press: Japan.
Moore JR, Maguire DA. 2004. Natural sway frequencies and damping ratios of trees: concepts, review and synthesis of previous studies. Trees, 18(2): 195~203.
Moore JR, Maguire DA. 2005. Natural sway frequencies and damping ratios of trees: influence of crown structure. Trees, 19(4): 363~373.
Niklas KJ. 1992. Plant Biomechanics: An Engineering Approach to Plant Form and Function. University of Chicago Press: Chicago.
Ota S, Tamura M, Fujimoto T, Muraoka K, Chiba N. 2004. A hybrid method for real-time animation of trees swaying in wind field. The Visual Computer, 20(10): 613~623.
Rao BN, Rao GV . 2007. Large deflections of a non-uniform cantilever beam with end rotational load. Journal of Sound and Vibration, 304(24): 969~973.
Shinya M, Fournier A. 1992. Stochastic motion - motion under the influence of wind. Computer Graphics Forum, 11(3): 119~128.
Stam J. 1997. Stochastic dynamics: simulating the effects of turbulence on flexible structures. Computer Graphics Forum, 16(3): 159~164.
Vogel S. 1994. Life in Moving Fluids. Princeton Univ. Press: Princeton. 
Weber J and Penn J. 1995. Creation and rendering of realistic trees. In Proceedings of ACM SIGGRAPH, 119~128.