本文主要是介绍线性粘弹性材料Maxwell模型在Abaqus中基于Prony的应用，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
线性粘弹性材料广义Maxwell模型
粘弹性材料概括了材料的弹性和粘性特征，由弹簧和阻尼分别表征。广义Maxwell模型是多支Maxwell模型的组合。如图所示：
其在时域的数学表达式为：
E ( t ) = E ∞ + ∑ i = 1 N E i e − t / t R i (1) E(t)=E_\infty+\sum_{i=1}^{N} E_ie^{-t/t_{Ri}} \tag{1} E(t)=E∞+i=1∑NEie−t/tRi(1)
频域的数学表达式为：
E ( ω ) = E ∞ + ∑ i = 1 N E i ω t R i i 1 + ω t R i i (2) E(\omega)=E_\infty+\sum_{i=1}^{N} \frac{E_i \omega t_{Ri}i}{1+\omega t_{Ri}i} \tag{2} E(ω)=E∞+i=1∑N1+ωtRiiEiωtRii(2)
式中：
E ∞ — — E_\infty —— E∞——平衡模量；
E i — — E_i —— Ei——第 i i i时刻的松弛强度
t R i — — t_{Ri} —— tRi——第 i i i时刻的松弛时间， t R i = η i / E i t_{Ri}=\eta_i/E_i tRi=ηi/Ei
i — — i—— i——为虚数单位
Abaqus中的Prony 级数
引入 E 0 = E ∞ + ∑ i = 1 N E i E_0=E_\infty +\sum_{i=1}^{N} E_i E0=E∞+∑i=1NEi，则 m i = E i / E 0 m_i=E_i/E_0 mi=Ei/E0
方程（1）可写做：
E ( t ) = E 0 ( 1 − ∑ i = 1 N m i ) + ∑ i = 1 N m i E 0 e − t / t R i (3) E(t)=E_0(1-\sum_{i=1}^{N}m_i)+\sum_{i=1}^{N}m_iE_0e^{-t/t_{Ri}}\tag{3} E(t)=E0(1−i=1∑Nmi)+i=1∑NmiE0e−t/tRi(3)
由弹性模量之间的关系：
E = 3 K ( 1 − 2 ν ) (4) E=3K(1-2\nu) \tag{4} E=3K(1−2ν)(4)
E = 2 G ( 1 + ν ) (5) E=2G(1+\nu) \tag{5} E=2G(1+ν)(5)
可以计算剪切模量和体积模量。
G ( t ) = G 0 ( 1 − ∑ i = 1 N g i ) + ∑ i = 1 N g i G 0 e − t / t R i (6) G(t)=G_0(1-\sum_{i=1}^{N}g_i)+\sum_{i=1}^{N}g_iG_0e^{-t/t_{Ri}}\tag{6} G(t)=G0(1−i=1∑Ngi)+i=1∑NgiG0e−t/tRi(6)
K ( t ) = K 0 ( 1 − ∑ i = 1 N k i ) + ∑ i = 1 N k i K 0 e − t / t R i (7) K(t)=K_0(1-\sum_{i=1}^{N}k_i)+\sum_{i=1}^{N}k_iK_0e^{-t/t_{Ri}}\tag{7} K(t)=K0(1−i=1∑Nki)+i=1∑NkiK0e−t/tRi(7)
在Abaqus中粘弹性参数需要输入Elastic和Viscoelastic
Elastic中
Viscoelastic中
特别注意Abaqus中，Prony为归一化参数，输入 g i , k i , t R i g_i,k_i,t_{Ri} gi,ki,tRi 有时体积模量为常数，此时 k i = 0 k_i=0 ki=0
例子
弹性模量为Maxwell模型：
| N | E E E | t R i t_{Ri} tRi |
|---|---|---|
| 1 | 11455.3 | 2.54 ∗ 1 0 − 6 2.54*10^{-6} 2.54∗10−6 |
| 2 | 1.005 | 0.0156 |
| 3 | 0.256 | 0.0637 |
| 4 | 0.101 | 0.234 |
| ∞ \infty ∞ | 0.01 | |
| ν \nu ν | 0.35 |
最终输入为
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这篇关于线性粘弹性材料Maxwell模型在Abaqus中基于Prony的应用的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
