【LeetCode】312. Burst Balloons爆破气球得到最大金币数

问题描述

给定n个气球，每个气球对应一个编号，用数组nums[0…n-1]存放，打爆一个气球能够获得金币数：nums[left] * nums[i] * nums[right]，然后这个数被移除，left和right变为相邻。求能够获得的最多的金币数量。
注：①假设nums[-1] = nums[n] = 1
② 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

例：Given [3, 1, 5, 8]，Return 167
nums = [3,1,5,8] –> [3,5,8] –> [3,8] –> [8] –> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167

这也是一道可用DP解答的问题。
这个气球将要获得的金币数跟已经爆掉的那些气球没关（数组中已经把爆掉的气球删除），因此子问题划分时，不是要知道第一个应该爆掉的气球，而是要知道最后一个爆掉的气球。

dp[l][r]：表示爆炸这些气球nums[l…r]的最大金币数。
上述例子中，为方便最末端的两个气球爆炸，我们分别再补两个“1”，nums=[1,3,1,5,8,1]。首先l+3≤r才有意义，所以我们可以设置一个变量len从3开始，循环到数组长度；然后l从0开始移动这个长为len的窗口；最后i指向这个窗口中最后一个爆炸的气球，从l+1开始遍历直到r-1。下图表示最后一个气球爆的8。

1. 初始化：考虑边界情况，dp[0]=0

2. 状态转移方程：注意要时刻更新dp[l][r]的值
   dp[l][r] = max( dp[l][r] ， nums[l] * nums[i] * nums[r] + dp[l][i] + dp[i][r] )

3. 返回值：dp[0][n-1]

class Solution {  
public:  int maxCoins(vector<int>& nums) {  nums.insert(nums.begin(), 1);  nums.push_back(1);  int n = nums.size();  vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));  for(int len=3; len <= n; len++){  for(int l=0; l <= n-len; l++){  int r = l+len-1;  for(int i=l+1; i<r; i++){  dp[l][r] = max(dp[l][r],(dp[l][i]+dp[i][r]+nums[l]*nums[i]*nums[r]));  }  }  }  return dp[0][n-1];  }  
};