RM奖励模型用到的Elo评分系统

你现在是大学教授，请详细讲述Elo排名，用公式表示

二、积分计算公式
Ra：A玩家当前的Rating
Rb：B玩家当前的Rating
Sa：实际胜负值，胜=1，平=0.5，负=0
Ea：预期A选手的胜负值，Ea=1/(1+10^[(Rb-Ra)/400])
Eb：预期B选手的胜负值，Eb=1/(1+10^[(Ra-Rb)/400])
因为E值也为预估，则Ea+ Eb=1

Elo排名系统是一种用于计算玩家相对技能水平的方法，通常用于竞技型游戏和运动比赛中。Arpad Elo博士最初设计了这个系统来评估国际象棋的玩家。

Elo系统的主要思想是：如果A在一场比赛中击败了B，那么系统将A的排名提高，B的排名降低。然而，改变的幅度取决于他们的预期胜率。如果A是高级选手，击败初级选手B，那么A的排名将稍微提高，B的排名将稍微降低。然而，如果B击败A，那么A的排名将大幅度下降，B的排名将大幅度上升。

Elo排名系统的基础公式如下：

1. 计算每位玩家的期望得分：

预期胜率：Ea = 1 / (1 + 10 ^ ((Rb - Ra) / 400))，同理，Eb = 1 / (1 + 10 ^ ((Ra - Rb) / 400))

 这里，Ra和Rb分别表示A和B的当前排名。Ea和Eb是A和B的预期胜率。

2.排名更新：

新的Ra = 旧的Ra + K * (Sa - Ea)，新的Rb = 旧的Rb + K * (Sb - Eb)

这里，K是K系数（一般取10到60，视具体情况而定），Sa和Sb是比赛结果（如果A赢了，Sa=1，Sb=0；如果B赢了，Sa=0，Sb=1；如果平局，Sa=Sb=0.5）。

1. 其中R'_A和R'_B是更新后的Elo评分，S_A和S_B是实际得分（赢得比赛为1，平局为0.5，输掉比赛为0），K是影响评分变化幅度的系数。

K系数的选取

K系数的选择取决于一些因素，包括玩家的经验水平和比赛的重要性。选择合适的K值可以帮助Elo评分系统更好地反映玩家的实际实力。

K值较高（例如40）可能会使得玩家的评分波动性更高，更适合于初级或中级玩家，这样他们的评分可以更快地反映他们的技能提高。而K值较低（例如10或20）可能使评分更稳定，更适合于高级玩家。

在某些情况下，K值可以根据玩家的当前评分或比赛的类型进行调整。例如，对于国际象棋，初级玩家的K值可能为40，中级玩家的K值可能为20，而顶级玩家的K值可能为10。

记住，所有这些都只是一种近似的方式，试图量化玩家的实力。在现实中，任何比赛都有一定的随机性，所以任何评分系统都无法完全准确地反映玩家的实力。Elo评分系统只是一种尝试，试图通过历史比赛数据为每位玩家分配一个合理的评分。同时，由于每场比赛的结果都会影响玩家的Elo评分，因此这个系统也为比赛带来了额外的策略层面，玩家需要在维护或提高他们的Elo评分和尝试新的策略之间进行权衡。"

以上就是Elo排名系统的基本原理和公式。

三、实例说明
若当前A玩家rating为1500，B玩家rating为1600
预估A玩家的胜负值Ea = 1/(1+10^[（1600-1500）/400]）≈0.36
预估B玩家的胜负值Eb = 1-Ea = 1-0.36 = 0.64

假设A玩家获胜，实际胜负值为Sa = 1
A玩家最终得分为 R'a = 1500 + 32*(1-0.36) = 1500+20.5 = 1520，A玩家赢20分，B玩家输20分。

假设B玩家获胜，实际胜负值为Sa = 1
B队最终得分为 R'b = 1600 + 32*(1-0.64) = 1600 + 11.52 = 1612，B玩家赢12分，A玩家输12分。
PS：^符号代表次方运算。

四、天梯系统目的
1.保护新手不被有经验的玩家虐，让高手局中没有新手。
2.创造竞技和公平的游戏对局，使玩家的游戏乐趣最大化。
3.无需等待太久就能找到对手进入游戏。

五、具体实例
11对战平台的天梯实例。
下面的公式很好的说明了天梯积分的计算方法，而Si的计算则是取的ELO算法，虽然11的天梯还是存在Bug，但是不得不承认确实是很棒的设计。

公式里面除以400是什么原理

Elo的排名系统使用的公式中，除以400的部分，是为了将底数为10的对数尺度映射到合适的游戏或比赛的比例尺上。对于国际象棋来说，Arpad Elo选择了400，因为他发现这是一个适当的数值，使得一位排名高400分的棋手能以概率约0.75击败一位排名低400分的棋手。

为何选定400，具体原因还包括：在当时，棋手的排名在大约2000左右，他希望能有一个适当的区间，使得高手与新手之间的排名差距不会过大，也不会过小。而400这个数字可以满足他的需求。

然而，在其他的应用中，这个值可能会有所不同。例如，在线游戏可能会选择更大或更小的值，以适应更广泛的玩家群体和更快的游戏速度。