实变函数——集合与实数集

1.集合及其运算

1.1 集合族

定义 1
设 $\Lambda$ 是一集合，$\forall$$\lambda$ $\in$ $\Lambda$, 都指定一个集合$A_{\lambda }$，这些集合的全体称为集合族，记为{$A_{\lambda }$ : $\lambda$ $\in$ $\Lambda$}

1.2 幂集

定义 2
给定集合 $A$，$A$ 的幂集（Power Set）$\wp$$($$A$$)$ 是集合$A$的子集全体，即
℘ ( A ) = { B : B ⊂ A } . \wp(A) = \{ B: B\subset A\}. ℘(A)={B:B⊂A}.
例2
℘ ( { a , b } ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \weierp(\{a,b\}) = \{\empty,\{a\},\{b\},\{a,b\}\} ℘({a,b})={∅,{a},{b},{a,b}}
对于任何集合 $A$，成立 $\varnothing ,A\in \wp (A)$
℘ ( ∅ ) = { ∅ } \wp(\empty) = \{\empty\} ℘(∅)={∅}
℘ ( { ∅ } ) = { ∅ , { ∅ } } \wp(\{\empty\}) = \{\empty,\{\empty\}\} ℘({∅})={∅,{∅}};

例3
设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数，则
⋃ n = 1 ∞ { x : ∣ f ( x ) ∣ ⩽ n } = { x : f ( x ) ∈ R } = R ; \bigcup_{n=1}^{\infin}\{x:|f(x)|\leqslant n\} = \{x:f(x)\in\R\} = \R; n=1⋃∞​{x:∣f(x)∣⩽n}={x:f(x)∈R}=R;
{ x : ∣ f ( x ) ∣ > 0 } = ⋃ n = 1 ∞ { x : ∣ f ( x ) ∣ > 1 / n } ; \{x:|f(x)|>0\} = \bigcup_{n=1}^{\infin}\{x:|f(x)|> 1/n\}; {x:∣f(x)∣>0}=n=1⋃∞​{x:∣f(x)∣>1/n};
{ x : ∣ f ( x ) ∣ = 0 } = ⋂ n = 1 ∞ { x : ∣ f ( x ) ∣ ⩽ 1 / n } ; \{x:|f(x)|=0\} =\bigcap_{n=1}^{\infin}\{x:|f(x)|\leqslant 1/n\}; {x:∣f(x)∣=0}=n=1⋂∞​{x:∣f(x)∣⩽1/n};
例4

2.集合序列的极限

定义 1
设 { A n } \{A_n\} {An​} 是一列集合。
（1）若 $A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n\supset \dots$ ，则称此集列为$递减集列（或渐缩集列）$。其交集 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n$ 为集列 { A n } \{A_n\} {An​} 的极限集，记为 ${\lim }_{n\to \infty }{A}_n$；
（2）若 $A_1\subset A_2\subset \cdots \subset A_n\subset \dots$ ，则称此集列为$递增集列（或渐张集列）$。其并集 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n$ 为集列 { A n } \{A_n\} {An​} 的极限集，记为 ${\lim }_{n\to \infty }{A}_n$.

例6

例7

例9

3.映射

定义 1
设 $X,Y$ 是两个集合。
如果按某种对应关系或者法则 $f$，使得
$$\forall x\in X,Y中有唯一的元y与之对应，$$
则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，记为
$$\begin{gathered} f:X\to Y, \\ x\mapsto y=f(x) \end{gathered}$$
$y$ 称为 $x$ 在映射 $f$ 下的像，$x$ 称为 $y$ 在 $f$ 下的原像。

定义2
给定映射 $f:X\to Y,A\subset X$. 定义
f ( A ) : = { f ( x ) ∣ x ∈ A } , f(A):= \{f(x)|x\in A\}, f(A):={f(x)∣x∈A},
为集合 $A$ 在映射 $f$ 下的像。设 $B\subset Y$，定义
f − 1 ( B ) : = { x ∈ X ∣ f ( x ) ∈ B } f^{-1}(B) := \{x\in X|f(x) \in B\} f−1(B):={x∈X∣f(x)∈B}
为集合 $B$ 在映射 $f$ 下的原像。

4.集合的等价、基数

定义 1
设有集合 $A,B$. 若存在一个从 $A$ 到 $B$ 上的双射，则称集合 $A$ 与 $B$ 对等，记为 $A\sim B$。
对等关系的性质：

1. 自反性：$A\sim A$；
2. 对称性：若 $A\sim B$，则 $B\sim A$；
3. 传递性：若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$.

定义 2
集合的基数：一个集合中所包含的元素的个数。记作 $Card(A)$。

1. 集合的基数是集合固有的特征；
2. 每一个集合都具有唯一的基数，对等的集合具有相同的基数。

定义 3
若有正整数 $n$，使得集合 A ∼ { 1 , 2 , … , n } A\thicksim \{1,2,\dots,n\} A∼{1,2,…,n}，则称 $A$ 为有限集；否则称为无限集。
若集合与自然集合具有相同的基数，则称这个集合是可数的。把有限集和可数集统称为至多可数集。
不是有限集或可数集的集合称为不可数集。

命题 1
（1）整数集 $\mathbb{Z}$ 是可数集；
（2）任一无限集必包含一个可数子集；
（3）可数集的任意无限子集是可数集；
（4）可数多个至多可数集的并是可数集；
（5）有理数集 $\mathbb{Q}$ 是可数集。

例 12
$\mathbb{R}$ 中任一两两不相交的开区间族中的元至多可数。
命题 2
设 $A$ 是无限集，$B$ 是至多可数集，则
$$A\sim A\cup B$$
证明：
不妨设 $A\cap B=\varnothing$. 设 $A_1\subset A$ 是一个可数子集，则 $A_1\cup B$ 是可数集。于是有
$$A\backslash A_1\sim A\backslash A_1,A_1\sim A_1\cup B,$$
且 $(A\backslash A_1)\cap A_1=\varnothing ,(A\backslash A_1)\cap (A_1\cup B)=\varnothing$. 因此有
$$A=(A\backslash A_1)\cup A_1\sim (A\backslash A_1)\cup (A_1\cup B)=A\cup B.$$
无限集加入一个至多可数集后，其“个数”不变。

定理 1
闭区间 $[0,1]$ 是不可数集。
证明：

定义 4
与 $[0,1]$ 对等的集合称为有连续统势。如 $[a,b]$ 有连续统势。
设 $n$ 为大于 $1$ 的自然数。若数列 { a k } k ⩾ 1 \{a_k\}_{k\geqslant 1} {ak​}k⩾1​ 中的项仅由 $0,1,2,\dots ,n-1$ 这 $n$ 个数组成，则称 { a k } k ⩾ 1 \{a_k\}_{k\geqslant 1} {ak​}k⩾1​ 为一个 n元数列；若 { a k } k ⩾ 1 \{a_k\}_{k\geqslant 1} {ak​}k⩾1​ 只有有限项不为 $0$，则 { a k } k ⩾ 1 \{a_k\}_{k\geqslant 1} {ak​}k⩾1​ 称为有限n元数列，不然称为无限n元数列。

定理 2
任何区间具有连续统势。

定理 3
设 $n⩾2$，则$n$元数列全体有连续统势。
证明：


定理 4
可数集的子集全体有连续统势。
证明：

定理 5
至多可数个有连续统势的集的直积全体有连续统势。
推论

1. 平面 ${\mathbb{R}}^2$、空间 ${\mathbb{R}}^3$ 都有连续统势；
2. 实数列全体有连续统势。

定理 6
设 $A_0,A_1,A_2$ 是三个集合，满足
$$A_0\supset A_1\supset A_2$$
若 $A_0\sim A_2$，则 $A_0\sim A_1$.
证明：

5. ${\mathbb{R}}^n$ 的拓扑

5.1 邻域与极限

定义 1 （邻域）
若 $x_0\in {\mathbb{R}}^n$，$ϵ>0$，称
N ( x , ϵ ) = { x ∈ R n : d ( x , x 0 ) < ϵ } N(x,\epsilon) = \{x \in \R^n:d(x,x_0)<\epsilon\} N(x,ϵ)={x∈Rn:d(x,x0​)<ϵ} 为 $x_0$ 的 $ϵ$ 邻域，简称邻域，其中 $x_0$ 为邻域的中心，$ϵ$ 为邻域的半径。有时邻域也记成 $N(x_0)$。

定义 2（极限）
若 $x_0\in {\mathbb{R}}^n$， { x k } k ⩾ 1 ⊂ R n \{x_k\}_{k\geqslant 1}\subset\R^n {xk​}k⩾1​⊂Rn，且
$$\underset{k\to \infty }{\lim }d(x_k,x_0)=0,$$ 则称 { x k } k ⩾ 1 \{x_k\}_{k\geqslant 1} {xk​}k⩾1​ 收敛于 $x_0$，记为 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=x_0$。

5.2 点集

定义 3

设 $E\subset {\mathbb{R}}^n,x\in {\mathbb{R}}^n.$

• 内点：若 $\exists \delta >0$,使 $N(x,\delta )\subset E$，则称 $x$ 为 $E$ 的内点；$E$ 的所有内点构成的集合称为 $E$ 的內域，记为$E^{\circ }$。
• 外点：若 $\exists \delta >0$,使 $N(x,\delta )\subset E^c$（或者$N(x,\delta )\cap E=\varnothing$，则称 $x$ 为 $E$ 的外点；$E$ 的所有外点构成的集合称为 $E$ 的外域，记为 $(E^c{)}^{\circ }$。
• 边界点：若 $\forall \delta >0$ ,有 $N(x,\delta )\cap E\ne \varnothing$ 且 $N(x,\delta )\cap E^c\ne \varnothing$ ,则称 $x$ 为 $E$ 的边界点；$E$ 的所有边界点构成的集合称为 $E$ 的边界，记为 $E^b$ 或 $\partial E$。
• 聚点：若对 $x$ 的任意邻域 $N(x)$ 都含有异于 $x$ 的 $E$ 中的点，则称 $x$ 为 $E$ 的聚点；$E$ 的所有聚点构成的集合称为 $E$ 的导集，记为 $E^{\prime }$；称 $E\cup E^{\prime }$ 为 $E$ 的闭包，记作 $\overline{E}$。
• 孤立点：点集 $E$ 的不是聚点的边界点称为 $E$ 的孤立点。

注意：

• 内点、外点和边界点是互不相容的；
• 内点总是属于 $E$；
• 外点总是不属于 $E$；
• $E$ 的边界点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$；
• $E$ 的聚点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$。
• $E$ 的内点一定是 $E$ 的聚点，反之则未必成立。
• $E$ 的外点一定不是聚点。
• $E$ 的边界点可能是 $E$ 的聚点，也可能不是 $E$ 的聚点（如孤立点）。
• $x\in \overline{E}\iff \forall N(x),N(x)\cap E\ne \varnothing$；
• $E$ 的孤立点一定属于 $E$；
• $x$ 为 $E$ 的孤立点 $\iff \exists N(x,\delta )$，使得 N ( x , δ ) ∩ E = { x } N(x,\delta)\cap E = \{x\} N(x,δ)∩E={x}。
• 聚点、外点、孤立点（属于边界点）是不相容的。

定义 4

设 $E\subset {\mathbb{R}}^n$.

1. 开集：若 $E$ 中每一个点都是 $E$ 的内点，则 $E$ 是开集。${\mathbb{R}}^n$ 为开集，规定 $\varnothing$ 为开集。
2. 闭集：若 $E$ 的每一个聚点都属于 $E$，即 $E^{\prime }\subset E$，则 $E$ 是闭集。${\mathbb{R}}^n$ 为闭集，规定 $\varnothing$ 也为闭集。
3. 自密集：若 $E$ 中每一个点都是 $E$ 的聚点，即 $E\subset E^{\prime }$，则 $E$ 是自密集。
4. 完备集：自密的闭集称为完备集或完全集。${\mathbb{R}}^n$ 和 $\varnothing$ 都为完备集。
5. 孤立集：若 $E$ 中每一个点都是孤立点，则 $E$ 是孤立集。
6. 离散集：若 $E^{\prime }=\varnothing$，则 $E$ 是离散集。
7. 稠密集：若 $\overline{E}={\mathbb{R}}^n$，则称 $E$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的稠密集。若 $\overline{E}$ 不包括任何邻域，则称 $E$ 是无处稠密集或疏朗集。例如，有理数集 $\mathbb{Q}$ 为 $\mathbb{R}$ 中的稠密集，整数集 $\mathbb{Z}$ 为 $\mathbb{R}$ 中的疏朗集。

注意：

• 一个集合是否为开集与该集合所在的空间有关系. 如 $(0,1)$ 是 $\mathbb{R}$ 中的开集，但若将其看作 ${\mathbb{R}}^2$ 中的点集，即 ( 0 , 1 ) × { 0 } (0,1)\times \{0\} (0,1)×{0} 时，则不是开集；
• $E$ 为闭集 $\iff E=\overline{E}\iff E^b\subset E$ ；
• $E$ 为自密集 $\iff E^{\prime }=\overline{E}$ ；
• $E$ 为完备集 $\iff E=E^{\prime }$ ；
• $E$ 为孤立集 $\iff E\cap E^{\prime }=\varnothing$；
• 孤立集为至多可数集（证明如下图）；
  
• 离散集都是孤立集，但孤立集不一定是离散集。如点集 { 1 , 1 / 2 , ⋯ , 1 / n , ⋯ } \{1,1/2,\cdots,1/n,\cdots\} {1,1/2,⋯,1/n,⋯} 为孤立集，但 E ′ = { 0 } E' = \{0\} E′={0}，所以 $E$ 不是离散集；

定理 1
若 $A\subset B$，则 $A^{\circ }\subset B^{\circ }$，$A^{\prime }\subset B^{\prime }$，$\overline{A}\subset \overline{B}$。
定理 2
$(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$；一般地，$(A\cap B{)}^{\prime }\ne A^{\prime }\cap B^{\prime }$。
定理 3 (Bolzano-Weierstrass 定理)
若 $E$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界无穷集，则 $E$ 中至少有一个聚点，即 $E^{\prime }\ne \varnothing$。
$注：一维情况下，可用闭区间套定理证明。$
定理 4
设 $E\subset {\mathbb{R}}^n$，则 $E^{\circ }$ 为开集，$E^{\prime }$ 和 $\overline{E}$ 为闭集。
定理 5
开集的补集为闭集，闭集的补集为开集。
定理 6

• 任意多个闭集的交是闭集，有限多个闭集的并是闭集；
• 任意多个开集的并是开集，有限多个开集的交是开集。

注意
$任意多个闭集的并不一定是闭集，任意多个开集的交不一定是开集。$
例如：
${\bigcup }_{n=1}^{\infty }[-1+1/n,1-1/n]=(-1,1)$
⋂ n = 1 ∞ ( − 1 / n , 1 / n ) = { 0 } \bigcap_{n=1}^{\infin}(-1/n,1/n)=\{0\} ⋂n=1∞​(−1/n,1/n)={0}

定理7（开集的构造定理）
实数集 $\mathbb{R}$ 上的非空开集 $G$ 一定是至多可数个互不相交的开区间的并集，并且这些开区间的端点都不属于 $G$。

定理 8
$\mathbb{R}$ 中的集 $F$ 是完备的充要条件是 $F^c=\mathbb{R}$ \ $F$ 是至多可数个互不相交且无公共端点的开区间的并。

定义 5
$\mathbb{R}$ 中的 Cantor 完备集


性质