非静压模型NHWAVE学习(2)——垂向σ-坐标系

2023-10-12 20:30

本文主要是介绍非静压模型NHWAVE学习(2)——垂向σ-坐标系,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

NHWAVE模型垂向σ-坐标系

  • NHWAVE模型原理回顾
  • 垂向σ-坐标系
  • 基于σ-坐标系的N-S方程的变形
  • 其它
  • 参考文献

这个系列的blog有点类似NHWAVE手册和代码的解读,内容之中也会穿插一些个人的学习体会。

NHWAVE模型原理回顾

在 非静压模型NHWAVE学习(1)——模型原理简介 中,我们主要介绍了模型的控制方程。
包括控制水流运动的N-S方程,和控制物质输运的对流-扩散方程。

  1. N-S方程
    在这里插入图片描述
  2. 对流-扩散方程
    在这里插入图片描述

垂向σ-坐标系

在非静压模型NHWAVE中,自由表面水位 η 被假定为水平位置的单值函数,即
η = η ( x , y , t ) η=η(x,y,t) η=η(x,y,t)
这种处理方式不同于传统的VOF、MAC等自由表面追踪技术,有着更高的计算效率。

为了使模型系统适应上述的处理方式,以及网格适应复杂的水底地形与自由表面形态的变化,NHWAVE模型采用了Phillips (1957) 1 提出的坐标变换方法(将在原时空笛卡尔坐标系统(x*, y*, z*, t*)下的物理量转化至新系统(x, y, z, t)之中):
在这里插入图片描述
式子中,D = h + η,h表示水深,η表示水位;于是,在垂直方向上,取值范围为 [-h(x*, y*, t*), η(x*, y*, t*)] 的 z*(x*, y*, t*) 转换成了处处取值为 [0, 1] 的 σ。就像方程做了如下的网格变形。
在这里插入图片描述
(注: 上图中左图为物理区域,右图为转化后的计算区域)

基于σ-坐标系的N-S方程的变形

假设一个在新坐标系统下的函数
f = f ( x ∗ , y ∗ , z ∗ , t ∗ ) f = f(x^*,y^*, z^*, t^* ) f=f(x,y,z,t)
应用复合函数的链式法则,我们可以得到:
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以及,
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于是,连续性方程就被写成
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在这里插入图片描述
式子中的ω表示的是σ-坐标系下的垂向速度(垂直于σ-坐标系网格的速度),ω与垂向速度w的关系为:
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将上述连续性方程沿垂向积分,得到了
在这里插入图片描述
解出了总水深D,则可求得自由表面位置;即上式是自由表面的控制方程。

同理,N-S方程中的动量方程同样可以由上面的方法进行坐标变换,得到如下的动量方程形式:
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其中,
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详细可见NHWAVE模型手册及Gangfeng Ma等人的论文(20122,2013 3)。

其它

最后再简要介绍以下其它常见的σ-坐标系。

NHWAVE模型中的σ-坐标系一般被称作单层σ-坐标系,即它将整个垂向区域都纳入了σ-坐标体系中。在实际应用过程中,单层σ-坐标系内整个计算区域的网格会随着自由水面波动而波动,难以固定计算域内某一固定点的位置。
为了克服这样的缺陷,香港学者李行伟(C. W. Lee)等人提出了两层σ-坐标系 4,即上层网格随自由水面波动而变化,下层网格固定不变。他应用这种坐标系计算了底柱扰流,得到了非常不错的模拟效果。
在此之后,我国学者林鹏智(P. Lin)提出了多层σ-坐标系5,并将此推广到任意层 坐标下波和障碍物耦合作用研究。以三层σ-坐标系为例,它在垂向的网格布置如下图所示。
在这里插入图片描述

(注: 上图中左图为物理区域,右图为转化后的计算区域)

参考文献


  1. Phillips, N.A… A coordinate system having some special advantages for numerical forecasting. J. Meteor, 1957, 14, 184–185. ↩︎

  2. Ma G , Shi F , Kirby J T . Shock-capturing non-hydrostatic model for fully dispersive surface wave processes[J]. Ocean Modelling, 2012, 43-44(22-35):22-35. ↩︎

  3. Ma G , Kirby J T , F Shi. Numerical simulation of tsunami waves generated by deformable submarine landslides[J]. Ocean Modelling, 2013, 69(Complete):146-165. ↩︎

  4. Li, C. W , Zhu, et al. A sigma coordinate 3D k–ε model for turbulent free surface flow over a submerged structure.[J]. Applied Mathematical Modelling, 2002. ↩︎

  5. Lin P . A multiple-layer σ-coordinate model for simulation of wave-structure interaction[J]. Computers & Fluids, 2006, 35(2):147-167. ↩︎

这篇关于非静压模型NHWAVE学习(2)——垂向σ-坐标系的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/198261

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