凸集之分离与支撑超平面

2023-10-12 04:10
文章标签 分离 支撑 超平面 凸集

本文主要是介绍凸集之分离与支撑超平面,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

分离与支撑超平面(Separating and supporting hyperplanes)

1.分离超平面定理
定理:假设C和D是两个不相交的凸集,即C∩D=∅。然后存在一个a≠0和b,这样aTx≤b用于所有x∈C,aTx≥b用于所有x∈D。
换句话说,仿射函数aTx−b,在C上非正,在D上非负.
超平面{x|aTx=b}称为分离C和D的分离超平面,或者称为分离C和D。
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如图所示,超平面{x|aTx=b}分离了不相交的凸集C和 D. 仿射函数aTx−b在C上非正,在C上非负 D.

分离超平面定理的证明
我们假设C和D之间的(欧几里得)距离,定义为
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并且是正的,同时存在点c∈C和d∈D达到最小距离,即||c−d||^2=dist(C,D)。(满足这些条件,例如,当C和D闭合且一组有界时,这些条件。)

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其中
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我们将证明仿射函数
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在C上非正,在D上非负,即超平面{x|aTx=b}分隔C和D。该超平面垂直于c和d之间的线段,并穿过其中点。
我们首先证明f在D上是非负的。f在C上是非正的证明是相似的(或者接下来通过交换C和D并考虑−f)。假设有一个u∈D点
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我们可以将f(u)表示为
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我们看到意味着(d−c)T(u−d)<0。现在我们观察到了
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所以对于一些小的t>0,与t≤1,我们有
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严格分离
我们上面构造的分离超平面满足所有x∈C的aTx<b的较强条件,所有x∈的aTx>b x∈D. 这被称为严格分离集C和 D. 简单的例子表明,一般来说,不相交凸集不需要被超平面严格分离,但在许多特殊情况下,可以建立严格分离。

支撑超平面
假设C⊆Rn和x0是其边界bdC上的一个点,即,
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如果=0对所有x∈C满足aTx≤aTx0,那么超平面{x|aTx=aTx0}在x0点被称为对C的支持超平面。
这相当于这样说点x0和集合C由超平面{x|aTx=aTx0}分开。几何解释是超平面{x|aTx=aTx0}在x0处与C相切,而半空间{x|aTx≤aTx0}包含C。
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如图所示,超平面{x|aTx=aTx0}支持在x0处的C。

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