矩陣分析-線性系統-4 病態系統（ill-conditioned Systems）與條件數（condtion number)

1. 病態系統

系統的精確解為x=1，y=-1。若對b2=0.067進行輕微的擾動變為0.066，那麼精確解變為x=-666，y=834。這個例子深刻說明了病態系統（ill-conditioned systems)的解對於小擾動非常敏感。而這種敏感是由於系統的內在特征，而不是數值求解的結果。這是沒有任何數值求解的技巧可有消除這種敏感性。

對於2*2的系統，這種情況可以用圖形來清晰說明。兩個公式對應兩條直線，其交點為解。一個病態系統對應的兩條直線是幾乎平行的，因此任何微小的變化都會使交點發生巨大變化。

2. 條件數

條件數（Condition Number）用於確定一個線性系統Ax=b在多大程度上能會發生變化（也就是它有多病態，注意不是變態）。其計算公式為

                                             ，可以是任何一種范數

若矩陣A的條件數很大，則其為病態系統。