EM@函数奇偶性性质@函数四则运算和复合运算后的奇偶性判断

本文主要是介绍EM@函数奇偶性性质@函数四则运算和复合运算后的奇偶性判断，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

abstract

• 函数奇偶性性质:函数四则运算和复合运算后的奇偶性判断

奇函数和偶函数

• 若$f(x)$的定义域关于原点对称,则当
  • $f(-x)=f(x)$,称$f(x)$为偶函数
  • $f(-x)=-f(x)$,称$f(x)$为奇函数

函数奇偶性性质

函数记号声明

• $o(x),o_i(x)$均表示奇函数
• $e(x),e_i(x)$均表示偶函数

四则运算性质

和差

• 偶(奇)函数相加得到的新函数仍为偶(奇)函数

• 奇函数相加减,得到的新函数还是奇函数

  • $h_1(x)=o_1(x)+o_2(x)$
    • $h_1(-x)=o_1(-x)+o_2(-x)=-o_1(x)-o_2(x)=-(o_1(x)+o_2(x))=-h_1(x)$
  • $h_1(x)=o_1(x)-o_2(x)$
    • $h_1(-x)=o_1(-x)-o_2(-x)=-o_1(x)+o_2(x)=-h_1(x)$
  • 合起来写:$h_2(x)=o_1(x)\pm o_2(x)$
    • $h_1(-x)=o_1(-x)\pm o_2(-x)$=$-o_1(x)\pm (-o_2(x))=-h_1(x)$

• 偶函数相加减得到的新函数仍为偶函数

  • $h_2(x)=e_1(x)\pm e_2(x)$
    • $h_2(-x)=e_1(-x)\pm e_2(-x)=(e_1(x)\pm (e_2(x))=h_2(x)$

• 奇函数$\pm$偶函数的结果没有一般性的定论

乘积

1. $h_1(x)=o(x)e(x)$
   • $h_1(-x)=o(-x)e(-x)=-o(x)e(x)=-h_1(x)$
2. $h_2(x)=o_1(x)o_2(x)$
   • $h_2(-x)=o_1(-x)o_2(-x)=(-o_1(x))(-o_2(x))=o_1(x)o_2(x)=h_2(x)$
3. $h_3(x)=e_1(x)e_2(x)$
   • $h_3(-x)=e_1(-x)e_2(-x)=e_1(x)e_2(x)=h_3(x)$

上述三条分别表明:

• 奇函数乘偶函数结果为奇函数
• 偶函数乘偶函数结果为偶函数
• 奇函数乘奇函数结果为偶函数

商

• 令:$y(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$,$y(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}$
  1. $y(x)=\frac{o_1(x)}{o_2(x)}$,$y(-x)=y(x)$
  2. $y(x)=\frac{o(x)}{e(x)}$,或$y(x)=\frac{e(x)}{o(x)}$,都有$y(-x)=-y(x)$
  3. $y(x)=\frac{e_1(x)}{e_2(x)}$,则$y(-x)=y(x)$
• 即
  • 分子分母奇偶性相同时,结果为偶函数
  • 分子分母奇偶性不同时,结果为奇函数
• 例如:
  • $\frac{\sin x}{x}$为偶函数,而$\frac{\sin x}{x^2}$为奇函数

复合性质

• $y=f(u);u=g(x)$,$y(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))$的奇偶性

  • 例如,$f(u)=\frac{1}{u}$;$u=g(x)=x^2$
  • 显然$f(u)$是个奇函数(反比例函数);$g(x)$是偶函数;$y(x)=\frac{1}{x^2}$则是偶函数

• 为了便于提高推导效率,沿用前面的$o(x),e(x)$的含义(分别表示奇函数和偶函数)

奇函数复合偶函数

$y_1(x)=o(e(x))$

• $y_1(-x)=o(e(-x))$=$o(e(x))=y(x)$
• 特例助记:$y(u)=u;u=x^2;y(x)=x^2(偶函数)$

偶函数复合奇函数

$y_1(x)=e(o(x))$

• $y_1(-x)=e(o(-x))=e(-o(x))=e(o(x))=y_1(x)$

奇函数复合奇函数

$y_2(x)=o_1(o_2(x))$

• $y_2(-x)=o_1(o_2(-x))=o_1(-o_2(x))=-o_1(o_2(x))=-y_2(x)$

偶函数复合偶函数

$y_3(x)=e_1(e_2(x))$

• $y_3(-x)=e_1(e_2(-x))=e_1(e_2(x))=y_3(x)$
  • $其中,记u=e_2(x);e_1(-e_2(x))=e_1(-u)=e_1(u)=e_1(e_2(x))$

奇偶性小结🎈

• 奇函数$\pm$ 奇函数=奇函数

• 偶函数$\pm$ 偶函数=偶函数

• 奇函数$\pm$ 偶函数(具体情况具体分析)

• 乘法和除法运算得到的新函数的奇偶性判定方式十分一致

  • 奇偶性相同的函数乘积或商是偶函数
  • 奇偶性不同的函数乘积或商是奇函数
  • 乘以或除以一个偶函数不改变原函数的奇偶性

• 仅在奇函数相互复合的情况下才得到奇函数

  • 偶函数与任何奇函数或偶函数复合都得到偶函数,
  • 反之亦然:任何奇函数或偶函数与偶函数复合都得到偶函数

倍乘非零常数不改变奇偶性

• 设k为非零常数$t(x)=kf(x);t(-x)=kf(-x)$,容易通过奇偶性定义验证,$t(x)$的奇偶性和$f(x)$一致;
• 事实上,常数是特殊函数(常数函数),而且是偶函数,从而$f(x)$乘偶函数不改变奇偶性

奇函数和偶函数表示定义域对称函数

• 定义域关于原点对称的普通函数$f(x)$,可以表示为奇函数和偶函数之和

• $f(x)=\frac{1}{2}h(x)+\frac{1}{2}g(x)$,$(D_f=(-l,l))$

  • $h(x)=f(x)-f(-x)$;

  • $g(x)=f(x)+f(-x)$

  • $h(x),g(x)$分别是奇函数和偶函数

    • $h(-x)=-h(x)$
    • $g(-x)=g(x)$

• 所以结论成立

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