Delta对冲:一般形式及模拟实验

期权Delta对冲

参考文献：Ahmad, R., & Wilmott, P. (2005). Which free lunch would you like today, sir?: Delta hedging, volatility arbitrage and optimal portfolios. Wilmott, 64-79.

1. 对冲收益的一般形式

假定买入认购期权，标的资产价格为S，剩余到期时间为t，调整标的资产仓位进行对冲至到期，隐含波动率为$\tilde{\sigma }$,实际波动率为$\tilde{\sigma }$,用于对冲的波动率为${\sigma }_h$。
$$V(S,t;{\sigma }_h)-V(S,t;\tilde{\sigma })+\frac{1}{2}({\sigma }^2-{\sigma }_h^2){\int }_{t_0}^T{e}^{-r(t-t_0)S^2}{\Gamma }^{h}dt\text{\hspace{1em}(1)}$$
每次对冲的收益为：
$$\frac{1}{2}({\sigma }^2-{\tilde{\sigma }}^2)S^2{\Gamma }^{i}dt+({\Delta }^i-{\Delta }^h)((\mu -r+D)Sdt+\sigma Sdz)\text{\hspace{1em}(2)}$$

标的资产价格服从几何布朗运动$dS=\mu Sdt+\sigma Sdz$,dz是维纳过程，$\mu$是标的资产期望收益率，$\sigma$是收益率的年化标准差。

其中，${\Gamma }^i$是基于隐含波动率计算出的期权Gamma值，${\Delta }^i,Delt{a}^h$分别是基于隐含波动率和实际波动率计算出的期权的delta值。D是股票的分红(连续分红)，r是无风险利率。

使用实际波动率进行对冲

使用隐含波动率进行对冲

收益波动与波动率选择

如果说期权是根据模型定价的（Mark to Model），而不是根据市场定价的（Mark to Market），那么自然应该选择使用实际波动率进行对冲。换句话说，就是定价的波动率其实是实际波动率，可参见2.1节的$\sigma =\tilde{\sigma }$的对冲收益情景，这种情况下使用实际波动率进行对冲，最终的收益波动为0，且收益与最优期望收益相差较小。

如果期权是根据市场定价的，通常处于风险管理的需要，将基于期权市场价值汇报每天的损益(Profit and Loss)，为了避免每天收益的波动率，在这种情况下通常会选择隐含波动率进行对冲。为什么要关心每天的PnL呢？因为如果标准差越大，风险越大，在某一天收益出现较大亏损的可能性就越大，被强行平仓的可能性就会越大，交易员或者投资者需要尽力避免这种极端情况的发生。
如公式(2)所示,每次收益的波动率是由$\sigma S|{\Delta }^i-{\Delta }^h|dz$项引起的，（2）式的标准差可以写为
$$\sigma S|{\Delta }^i-{\Delta }^h|\sqrt{dt}\text{\hspace{1em}(5)}$$
可以看出，每次对冲收益的标准差（风险）与隐含波动率，实际波动率和对冲波动率都有关，如果对冲的波动率越接近实际波动率，风险就会越小。

对于一个认购欧式期权，还有六个月到期，隐含波动率为20%,对冲波动率为30%，分别计算出的相应Delta值，其与标的资产价格的关系如如上图所示。当价格处于深虚值或者深实值（far in or out of money），两种波动率计算出的Delta值差距不大，而当价格越靠近平值（越靠近行权价时），Delta值的差距较为明显，局部的收益风险较大。
两条曲线相交于：
$$S=Kexp(-\frac{T-t}{\tilde{\sigma }-{\sigma }^h}(\tilde{\sigma }(r-D+{\sigma }^{h^2}/2)-{\sigma }^h(r-D+{\sigma }^2/2))$$

2. 对冲收益跟对冲波动率的关系

假定买入欧式认购期权，一年到期，行权价$k$为100，标的资产价格为$100$，无风险利率$r$=10%，分红D=0,$\mu$标的资产的价格期望收益为0。对于每种情况模拟了100次，并求收益的期望值、最大值、最小值和标准差。

2.1 实际波动率= 隐含波动率（$\sigma =\tilde{\sigma }=20\%$）

当实际波动率等于隐含波动率时，无论采用哪个波动率来进行对冲，其期望的收益相对于期权的市场价格(13.3)来说都是比较小的。但是当使用实际波动率0.2进行对冲的时候，收益的标准差最小。最高收益曲线比最低收益曲线更加陡峭。所有的曲线相交于同一点(0.2,0）。

2.2 实际波动率>隐含波动率($\sigma =40\%,\tilde{\sigma }=20\%$）

当实际波动率大于隐含波动率的时候，如果对冲的波动率小于隐含波动率，或高于了0.75左右，很有可能会发生亏损（最低收益低于了0）;如果对冲的波动率介于0.2到0.75左右，反而不会亏损。同时可以看出，期望收益对于对冲的波动率是不敏感的。

2.3 实际波动率<隐含波动率($\sigma =20\%,\tilde{\sigma }=40\%$）

当实际波动率小于隐含波动率的时候，如果对冲的波动率小于0.1左右，或高于隐含波动率，很有可能会发生亏损（最低收益低于了0）;如果对冲的波动率介于0.1到0.4左右，反而不会亏损。同时可以看出，期望收益对于对冲的波动率是不敏感的。而最低收益曲线比最高收益曲线更加陡峭。

3. 代码实现

主要包括了PriceSimulator和OptionHedge两个类,前者是用来模拟期权的价格路径（基于隐含波动率）和标的资产的价格路径（基于实际波动率），后者则是基于对冲的波动率来计算对冲的delta，并多次进行模拟，得到期权对冲的收益及期望值、标准差、最大值、最小值等。参数设定及调用方式参见main函数。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@time:2021/6/24 9:58@author: Hu Yue
@email: hhhuyue@gmail.com
@file: hedge.py
Note:
"""
from math import sqrt
from typing import Typeimport scipy.stats as si
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.stats import normclass PriceSimulator:def __init__(self, S, K, T, rf, cp_type, IV, RV, simulation_steps, expected_return):self.simulation_steps = simulation_stepsself.RV = RVself.IV = IVself.cp_type = cp_typeself.rf = rfself.T = Tself.K = Kself.S = Sself.mu = expected_returndef get_option_price(self, S, K, T, sigma, rf, option_type):d1 = (np.log(S / K) + (rf + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)if option_type == "Call":option_price = S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-rf * T) * norm.cdf(d2)else:option_price = K * np.exp(-rf * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)return option_pricedef simulate(self):random_seed = np.random.standard_normal((self.simulation_steps, 1))dt = self.T / self.simulation_steps# Monte carlo模拟 真实的波动率生成标的价格路径stock_price = self.S * np.exp(np.cumsum((self.mu - 0.5 * self.RV ** 2) * dt + self.RV * sqrt(dt) * random_seed, axis=0))option_price = np.zeros((self.simulation_steps, 1))expire_time = (np.ones((self.simulation_steps, 1)) * dt).cumsum()[::-1]# 期权价格路径基于隐含波动率生成，期权市场价格for step in range(self.simulation_steps):option_price[step] = self.get_option_price(stock_price[step], self.K, expire_time[step], self.IV,self.rf,self.cp_type)return stock_price, option_pricedef plot(self, price):# 制作模拟价格走势图表plt.plot(price[:, :], lw=1.5)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']plt.xlabel('时间')plt.ylabel('价格')plt.title('模拟价格走势')plt.show()class OptionHedge:def __init__(self, S, K, T, rf, cp_type, IV, RV, expected_return):self.mu = expected_returnself.RV = RVself.IV = IVself.cp_type = cp_typeself.rf = rfself.T = Tself.K = Kself.S = Sself.simulation_steps = 1000self.dt = 1 / 1000def init_price_simulator(self, price_simulator: Type[PriceSimulator], simulation_steps):self.simulation_steps = simulation_stepsself.dt = self.T / simulation_stepsreturn price_simulator(self.S, self.K, self.T, self.rf, self.cp_type, self.IV, self.RV, simulation_steps,self.mu)def get_delta(self, S, K, T, sigma, rf, option_type):if option_type == "Call":n = 1else:n = -1d1 = (np.log(S / K) + (rf + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))delta = n * si.norm.cdf(n * d1)return deltadef hedge(self, hedge_volatility, price_simulator: PriceSimulator, simulation_times):pnl = np.zeros((self.simulation_steps - 1, simulation_times))for simulation in range(simulation_times):stock_price, option_price = price_simulator.simulate()# 基于对冲波动率计算的delta值expire_time = (np.ones((simulation_steps, 1)) * self.dt).cumsum()[::-1]  # 倒序delta = np.zeros((simulation_steps, 1))for step in range(simulation_steps):delta[step] = self.get_delta(stock_price[step], self.K, expire_time[step], hedge_volatility,self.rf,self.cp_type)pnl_path = np.diff(option_price, axis=0) - delta[:-1] * np.diff(stock_price, axis=0) - \self.rf * self.dt * (option_price[:-1] - delta[:-1] * stock_price[:-1])pnl[:, simulation] = pnl_path.reshape(simulation_steps - 1)return pnldef plot(self, pnl):plt.plot(pnl.cumsum(axis=0)[:, :], lw=1.5)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi', 'SimHei', 'FangSong']plt.rcParams['font.size'] = 12plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.xlabel('时间')plt.ylabel('收益')plt.title('期权对冲累积收益图')plt.show()if __name__ == '__main__':# 参数设定，无分红risk_free_rate = 0.1expected_return = 0implied_volatility = 0.2actual_volatility = 0.2init_stock_price = 100strike_price = 100option_type = "Call"T = 1simulation_steps = 1000  # 每次模拟有1000步simulation_times = 100  # 模拟1000次# 初始化期权和标的option_hedge = OptionHedge(init_stock_price, strike_price, T, risk_free_rate, option_type, implied_volatility,actual_volatility, expected_return)# 期权价格和标的资产价格路径模拟器price_simulator = option_hedge.init_price_simulator(PriceSimulator, simulation_steps)# 多次模拟并进行对冲，对冲的波动率可自行选择# pnl = option_hedge.hedge(implied_volatility, price_simulator, simulation_times)# option_hedge.plot(pnl)# 分析不同波动率对对冲收益的影响volatility = np.arange(0, 1, 0.02)hedge_pnl = np.ones((len(volatility), 5))for i in range(1, len(volatility)):pnl = option_hedge.hedge(volatility[i], price_simulator, simulation_times).sum(axis=0)expected_profit = np.mean(pnl)standard_deviation_profit = np.std(pnl)max_profit = np.max(pnl)min_profit = np.min(pnl)print(volatility[i], expected_profit, standard_deviation_profit, min_profit, max_profit)hedge_pnl[i, :] = [volatility[i], expected_profit, standard_deviation_profit, min_profit, max_profit]plt.plot(hedge_pnl[1:, 0], hedge_pnl[1:, 1:], lw=1.5)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi', 'SimHei', 'FangSong']plt.rcParams['font.size'] = 12plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# plt.xticks(np.arange(0, 1, 0.1))plt.xlabel('波动率')plt.ylabel('收益')plt.title('期权对冲累积收益图')plt.legend(["expected profit", "Standard deviation of profit", "Minimum profit", "Maximum profit"], loc=9,fontsize=10)ax = plt.gca()  # gca:get current axis得到当前轴ax.spines['right'].set_color('none')ax.spines['top'].set_color('none')ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))plt.show()