本文主要是介绍Python数据结构与算法-RAS算法(p96),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
一、RSA加密算法简介
1、加密算法概念
传统密码: 加密算法是秘密的
现代密码系统:加密算法是公开的,密钥是秘密的;(密钥可能是随机生成的,与他人不一致)
对称加密—加密和解密用的同一个密钥
非对称加密—加密和解密用的两个密钥,RSA算法属于非对称加密
2、RSA加密算法
RSA非对称加密系统:
公钥:用来加密,是公开的 (一般用来加密)
私钥:用来解密,是私有的 (个人用于解密)
例如:
上图所示,Bob用公钥加密M文件,Bob传送给Alice。传送过程中,窃密者窃取M文件得到的加密后的信息,无法解读。Alice使用私钥解读M文件。
二、RSA算法的加密过程
1、RSA加密算法密钥获取过程
随机选取两个质数p和q;
计算n=pq
选取一个与互质的小奇数e,=(p-1)(q-1)
对模,计算e的乘法逆元d,即满足(e*d) mod = 1
公钥(e,n) 私钥(d, n)
2、RSA加密算法密钥获取演示
(1)随机选取两个质数p和q;
质数是指约数只有1和本身的数。
质数越大,密码破解难度越大,实际中的质数是很大的。
>>> p = 53
>>> q = 59
(2)计算n=pq
>>> n = p*q
>>> n
3127
(3)选取一个与互质的小奇数e,=(p-1)(q-1)
互质是指最大公约数为1,奇数是与偶数相对的数,不能被2整除。
>>> fai = (p-1)*(q-1) #fai(n)
>>> fai
301
>>> e = 3
(4)对模,计算e的乘法逆元d,即满足(e*d) mod = 1
找到一个d,满足(e * d) mod = 1。(可运用费马小定理,欧几里得算法求解)
>>> d = 2011 # 这里对应的d是2011,可用费马定理求解(具体求解可自行学习)
>>> (e * d) % fai
1
(5)公钥(e,n) 私钥(d, n)
>>> e
3
>>> n
3127
>>> d
2011
公钥:(3, 3127); 私钥(2011,3027)
3、加密解码过程
加密过程: c=(m^e)mod n (公钥)
c:密文
m:明文
n^e: n的e次方,在python中是n ** e
解密过程: m =(c^d)mod n (密钥)
(1)加密过程(终端运行)
>>> m = 87 # 明文
>>> c = (m ** e)%n # 加密
>>> c # 密文
1833
(2)解密过程(终端运行)
>>> (c ** d)%n
87 # 明文
三、RSA加密算法中求乘法逆元
1、乘法逆元定理
由于除法无法直接求模,转化为乘法再求模。
例如:
普通除法下: 14 / 4 = 7 / 2 = 7 x 1/2 = ,将除法转化为乘法。
在该式子下再取模就是模的除法:(14 / 4)mod 5 = (7 x 1/2) mod 5 =() mod 5
乘法逆元类似与倒数的概念,两数相乘1,() mod 5 中取模的数一定为整数,所以1/2需要被整数替换。
因为(2 * 3) mod 5 =1, 则2对与mod 5的乘法逆元为3。可以用3替换1/2
() mod 5 = (7 x 3) mod 5 =21 mod 5 = 1。理解为,7乘以“2的乘法逆元”模5。
乘法逆元定义:设aZ, nN, 如果az 1 (mod n) ,称z是模n下a的乘法逆元,记作。
其中: a的乘法逆元是,z的乘法逆元。
注意1:模n下互为乘法逆元,一般只考虑比n小的数。
注意2:a在模n内的乘法逆元()是唯一的。也可能就是本身。
注意3:乘法逆元存在条件:gcd(a,n) = 1(最大公约数) ,即模n下,a有乘法逆元。也就是说a 和n互质。
2、用扩展欧几里得算法求乘法逆元
(1)扩展欧几里得算法
给出正整数a和b,扩展的欧几里得算法可以计算a和b的最大公约数d,同时得到两个符号相反的整数x和y满足:d=gcd(a, b) = ax+by。
(2)根据扩展欧几里得算法求乘法逆元
az 1 (mod n) 求模的乘法逆元,又可以写成(a * z)mod n = 1,其中a和n互为质数,gcd(a,n)=1。
(可以得到a * z= y * n +1,这里的y是求解(a * z)mod n = 1中的系数。例如:(7 * 8)mod 11 =1,计算过程,7 * 8 = 5 * 11 + 1,这里的y是5。)
根据扩展欧几里得算法,即得到ax + by = gcd(a, b) = 1。整个求解的过程就是使用欧几里得算法gcd(a,b) = gcd(b, a mod b),求两个数的公约数,一直计算到1为止即可。例如:
a = 5,b = 14
14 % 5 =14 - 5 * 2 = 4
5 % 4 = 5 - 4 * 1 = 1 = gcd(a,b)
往回推算:4 = 14 - 5 * 2 替换
5 - (14 - 5* 2) = 1
5 - 14* 1+ 5* 2 =1
5*3 - 14*1 =1
此时x=3,y =1。但是y不是所求的。
则3 是 5 mod 14 的逆元。
当由于式子是奇数个,所以最后整理时a的系数为负:
a =5, b = 18
18 % 5 = 18 - 5 * 3 = 3
5 % 3 = 5 - 3*1 = 2
3 % 2 = 3 - 2 * 1 =1
倒回去:
3-(5 - 3 * 1)=1
18 - 5 * 3 -(5 - 18 + 5 * 3)= 18 - 5 * 3 -5 * 4 + 18 = 18 * 2 - 5 * 7=1
转化为5*(-7)+ 18 * 2 = 1
利用两个数互质的性质以及最小公倍数,我们可以直接得到想要的结果:
5*(-7)+ 18 * 2 = 5 * (-7) mod 18 = 5 * (18-7)mod 18 = 5 * 11 mod 18 =1
最终x= 11.
(欧几里得算法求逆元的代码实现暂时略)
这篇关于Python数据结构与算法-RAS算法(p96)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!