离散数学第1章命题逻辑

“要指定一个语言，首先需要确定所使用的符号。汉语使用的符号是汉字和标点符号。命题逻辑使用的符号是命题变元和联结词。谓词逻辑使用的符号是常元、函数符号、谓词符号、量词、联结词等。在汉语中，能够表达完整意义的符号串是句子。在数理逻辑中，能够表达一定意义的符号串是公式。”

“在汉语中，可以从两方面看待句子：一方面可将它看作一个符号串，另一方面也可将它看作该句子的涵义。前者是语法观点，后者是语义观点。从语法上看，“贾政是贾宝玉的父亲。”与“贾政是贾宝玉的爸爸。”是不同的句子，因为它们是不同的符号串。从语义上看，这两个句子没有区别，因为它们的涵义完全相同。对于数理逻辑中的公式，也同样如此。学懂数理逻辑的关键在于：分清语法概念和语义概念，切不可混淆。”

命题

命题是推理的基本要素。自然语言将命题表达为具有确定真假意义的陈述句。若该语句意义为真，就称其为真命题。否则就称其为假命题。

简单命题

由简单陈述句表述的命题称为简单命题。命题逻辑不再进一步分析简单命题的内部结构。

1. 雪是白的。
2. 2是奇数。
3. x+y>5
4. 你是谁？
5. 我正在说谎。
6. 北京是中国的首都。
7. 21世纪时有人住在月球上。
   ①和⑥是真命题。②是假命题。⑦是命题，但是现在还不知道它的真值。④不是命题，因为不是陈述句。③不是命题，因为真假值不确定。⑤是说谎者悖论，不是命题，没有确定的真值。

为什么7是命题呢？命题不是有确定真假意义的陈述句吗？
我想的是，还不如定义命题就是一个bool变量，因为以后还要进行假设一个命题为真之类的。

联结词/真值表

优先级是按照!, &&, ||, !=, =>, ==排列的，如你所见，只有=>比较特殊而已，其他的都在C语言里面有。
^其实就是!=，<=>其实就是==。


在→的真值表中规定，只要p为假，不管q的真假如何，p→q总为真.这也与日常语言中“如果…，则……”的含义不同。若用p表示“我今天死。”，用q表示“我长生不老。”，则p->q表示一个真命题，因为事实上我今天没有死。在日常语言中，“如果我今天死，则我长生不老。”显然是一个假命题。事实上旦常语言中的“如果……，.则……不是一个真值函数。

完全联结词集

任何联结词都可以表示为仅有!,&&或者!,||的组合形式。

命题符号化

将一段是复杂命题翻译成联结词+简单命题的形式

公式

其实就是输入和输出都是bool的函数。

就我个人理解，如果一个复杂命题中某个简单命题的值未知，这个复杂命题就是一个函数，只要澄清了输入，就可以得出输出。

永真式

函数总是返回true。

命题的运算

书上称为等值演算。

&&,||相同满足结合律，不同满足分配率。
^相同满足结合律，与&&满足分配率。
!(A=>B) == A && !B

利用这些性质，可以证明比如p->(q->r) <=> p&&q -> r之类的恒等式。

对偶定理

徳摩根律其实是广义的。
把&&和||互换，然后对所有简单命题取!，得到的结果总是不变。