从飞机姿态控制看线性变换的本质

本文主要是介绍从飞机姿态控制看线性变换的本质，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

战斗机做机动动作的时候经常会执行偏航，俯仰和翻滚等动作，用来改变飞机的运行轨迹，这里面也蕴含了丰富的线性空间变换的思想和应用。本篇文章试图用线性代数的理论来解释这些操作具体是怎么做的，当然，同样的解释也可以用在机器人，机械手臂的运动上面。

方便起见，将坐标系选在飞机上，假定飞机处于 $xOy$ 平面，机头指向 $x$ 轴的正方向，左机翼指向 $y$ 轴的正向，飞机在 $xOy$ 平面飞行， $z$ 轴定义在飞行平面的法线方向，机头上面为正。如下图所示:

当飞机飞行时，三个坐标轴和飞机同时运动。

我们分别讲述:

1.偏航

偏航是一个在 $xOy$ 平面的旋转，以偏航45°为例，此时，飞机右转45°（顺时针方向),从三维线性变换的角度看，偏航就是关于 $z$ 轴的旋转，如果飞机机头的初始坐标表示为向量 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T$ ,则偏航后，它的坐标仍然是 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T$ ，这是因为坐标轴连同飞机一起旋转，暂且把变换前的坐标系统成为初始坐标系统，偏航45°后，机头相对于初始坐标系统的位置为：

$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 \end{bmatrix}$

如果将偏航变换L堪称初始坐标系统的变换，则容易求得它的表示矩阵，如果L对那个的偏航角度为 $\theta$ ,则L将(1,0,0)和(0,1,0)分别旋转为点

$\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \end{bmatrix}^T$

和

$\begin{bmatrix} sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \end{bmatrix}^T$

点 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T$ 在偏航时将保持不变，因为它在旋转轴上。对列向量，若 $\vec{y}_1, \vec{y}_2, \vec{y}_3$ 为L在 $R^3$ 中的坐标向量,则

$\vec{y}_1 = L(e_1)=\begin{bmatrix} cos(\theta)\\ -sin(\theta)\\ 0 \end{bmatrix}$

$\vec{y}_2 = L(e_2)=\begin{bmatrix} sin(\theta)\\ cos(\theta)\\ 0 \end{bmatrix}$

$\vec{y}_3 = L(e_3)=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

则，偏航的变换矩阵为:

$Y=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0\\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.俯仰

飞机的俯仰是在 $xOz$ 平面的旋转，当角度为负时，机头向下旋转，反之，则向上。从三维空间线性变换的角度看，俯仰就是关于 $y$ 轴的旋转，正如偏航一样，也存在一个相对于初始坐标系的转移矩阵。若L是一个旋转角度为 $\theta$ 的俯仰变换，则L表示的矩阵为:

$P=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & 0 & -sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0\\ sin(\theta) & 0 & cos(\theta)\end{bmatrix}$