压缩感知重构算法之子空间追踪(SP)

题目：压缩感知重构算法之子空间追踪(SP)

转载自彬彬有礼的专栏

        如果掌握了压缩采样匹配追踪(CoSaMP)后，再去学习子空间追踪(Subspace Pursuit)是一件非常简单的事情，因为它们几乎是完全一样的。

        SP的提出时间比CoSaMP提出时间略晚，首个论文版本是参考文献[1]，后来更新了两次，最后在IEEE Transactions on Information Theory发表[2]。从算法角度来讲，SP与CoSaMP差别非常小，这一点作者也意识到了，在文献[1]首页的左下角就有注释：

在文献[2]第2页提到了SP与CoSaMP的具体不同：

从上面可以知道，SP与CoSaMP主要区别在于“Ineach iteration, in the SP algorithm, only K new candidates are added, while theCoSAMP algorithm adds 2K vectors.”，即SP每次选择K个原子，而CoSaMP则选择2K个原子；这样带来的好处是“This makes the SP algorithm computationally moreefficient,”。

        以下是文献[2]中的给出的SP算法流程：

这个算法流程的初始化(Initialization)其实就是类似于CoSaMP的第1次迭代，注意第(1)步中选择了K个原子：“K indices corresponding to the largest magnitude entries”，在CoSaMP里这里要选择2K个最大的原子，后面的其它流程都一样。这里第(5)步增加了一个停止迭代的条件：当残差经过迭代后却变大了的时候就停止迭代。

        不只是SP作者认识到了自己的算法与CoSaMP的高度相似性，CoSaMP的作者也同样关注到了SP算法，在文献[3]中就提到：

文献[3]是CoSaMP原始提出文献的第2个版本，文献[3]的早期版本[4]是没有提及SP算法的。

        鉴于SP与CoSaMP如此相似，这里不就再单独给出SP的步骤了，参考《压缩感知重构算法之压缩采样匹配追踪(CoSaMP)》，只需将第(2)步中的2K改为K即可。

        引用文献[5]的3.5节中的几句话：“贪婪类算法虽然复杂度低运行速度快，但其重构精度却不如BP类算法，为了寻求复杂度和精度更好地折中，SP算法应运而生”，“SP算法与CoSaMP算法一样其基本思想也是借用回溯的思想，在每步迭代过程中重新估计所有候选者的可信赖性”，“SP算法与CoSaMP算法有着类似的性质与优缺点”。

        子空间追踪代码可实现如下(CS_SP.m)，通过对比可以知道该程序与CoSaMP的代码基本完全一致。本代码未考虑文献[2]中的给出的SP算法流程的第(5)步。代码可参见参考文献[6]中的Demo_CS_SP.m。

function [ theta ] = CS_SP( y,A,K )
%CS_SP Summary of this function goes here
%Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-05-01
%   Detailed explanation goes here
%   y = Phi * x
%   x = Psi * theta
%	y = Phi*Psi * theta
%   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
%   K is the sparsity level
%   现在已知y和A，求theta
%   Reference:Dai W，Milenkovic O．Subspace pursuit for compressive sensing
%   signal reconstruction[J]．IEEE Transactions on Information Theory，
%   2009，55(5)：2230-2249.[y_rows,y_columns] = size(y);if y_rows<y_columnsy = y';%y should be a column vectorend[M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)Pos_theta = [];%用来迭代过程中存储A被选择的列序号r_n = y;%初始化残差(residual)为yfor kk=1:K%最多迭代K次%(1) Identificationproduct = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积[val,pos]=sort(abs(product),'descend');Js = pos(1:K);%选出内积值最大的K列%(2) Support MergerIs = union(Pos_theta,Js);%Pos_theta与Js并集%(3) Estimation%At的行数要大于列数，此为最小二乘的基础(列线性无关)if length(Is)<=MAt = A(:,Is);%将A的这几列组成矩阵Atelse%At的列数大于行数，列必为线性相关的,At'*At将不可逆break;%跳出for循环end%y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解%(4) Pruning[val,pos]=sort(abs(theta_ls),'descend');%(5) Sample UpdatePos_theta = Is(pos(1:K));theta_ls = theta_ls(pos(1:K));%At(:,pos(1:K))*theta_ls是y在At(:,pos(1:K))列空间上的正交投影r_n = y - At(:,pos(1:K))*theta_ls;%更新残差 if norm(r_n)<1e-6%Repeat the steps until r=0break;%跳出for循环endendtheta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta
end

        鉴于SP与CoSaMP的极其相似性，这里就不再给出单次重构和测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码了，只需将CoSaMP中调用CS_CoSaMP函数的部分改为调用CS_SP即可，无须任何其它改动。这里给出对比两种重构算法所绘制的测量数M与重构成功概率关系曲线的例程代码，只有这样才可以看出两种算法的重构性能优劣，以下是在分别运行完SP与CoSaMP的测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码的基础上，即已经存储了数据CoSaMPMtoPercentage1000.mat和SPMtoPercentage1000.mat：

clear all;close all;clc;
load CoSaMPMtoPercentage1000;
PercentageCoSaMP = Percentage;
load SPMtoPercentage1000;
PercentageSP = Percentage;
S1 = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
S2 = ['-rs';'-ro';'-rd';'-rv';'-r*'];
figure;
for kk = 1:length(K_set)K = K_set(kk);M_set = 2*K:5:N;L_Mset = length(M_set);plot(M_set,PercentageCoSaMP(kk,1:L_Mset),S1(kk,:));%绘出x的恢复信号hold on;    plot(M_set,PercentageSP(kk,1:L_Mset),S2(kk,:));%绘出x的恢复信号
end
hold off;
xlim([0 256]);
legend('CoSaK=4','SPK=4','CoSaK=12','SPK=12','CoSaK=20',...'SPK=20','CoSaK=28','SPK=28','CoSaK=36','SPK=36');
xlabel('Number of measurements(M)');
ylabel('Percentage recovered');
title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');

        运行结果如下：

        可以发现在M较小时SP略好于CoSaMP，当M变大时二者重构性能几乎一样。

 参考文献：

[1]Dai W，Milenkovic O. Subspace pursuitfor compressive sensing: Closing the gap between performance and complexity.http://arxiv.org/pdf/0803.0811v1.pdf

[2]Dai W，Milenkovic O．Subspacepursuit for compressive sensing signal reconstruction[J]．IEEETransactions on Information Theory，2009，55(5)：2230-2249.

[3]D. Needell, J.A. Tropp．CoSaMP: Iterative signal recoveryfrom incomplete and inaccurate samples. http://arxiv.org/pdf/0803.2392v2.pdf

[4]D. Needell, J.A. Tropp．CoSaMP: Iterative signal recoveryfrom incomplete and inaccurate samples. http://arxiv.org/pdf/0803.2392v1.pdf

[5]杨真真，杨震，孙林慧.信号压缩重构的正交匹配追踪类算法综述[J]. 信号处理，2013，29(4)：486-496.

[6]Li Zeng. CS_Reconstruction. http://www.pudn.com/downloads518/sourcecode/math/detail2151378.html