斐波那契(黄金分割法)查找介绍

一 斐波那契(黄金分割法)查找介绍

黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不到的效果。

斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 }，发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618。

二 斐波那契(黄金分割法)原理

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契数列），如下图所示。

三 对 F(k-1)-1 的理解

1 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。

该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1。

2 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割。

3 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可。

while(n>fib(k)-1)k++;

四 实战

1 需求

请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。

2 代码

package com.atguigu.search;import java.util.Arrays;/**
* @className: FibonacciSearch
* @description: 斐波那契(黄金分割法)查找
* @date: 2021/3/14
* @author: cakin
*/
public class FibonacciSearch {// 斐波那契数组长度public static int maxSize = 20;/*** 功能描述：斐波那契(黄金分割法)查找** @param args 命令行* @author cakin* @date 2021/3/14*/public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 89));}/*** 功能描述：产生一个斐波那契数列** @return int[] 斐波那契数列  {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 }* @author cakin* @date 2021/3/14*/public static int[] fib() {int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for (int i = 2; i < maxSize; i++) {f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f;}/*** 功能描述：斐波那契查找算法——使用非递归的方式** @param a   待查找数组* @param key 需要查找的关键字* @return int 找到：对应的下标 没找到：-1*/public static int fibSearch(int[] a, int key) {int low = 0;int high = a.length - 1;int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标int mid; // 存放mid值int f[] = fib(); // 获取到斐波那契数列// 获取到斐波那契分割数值的下标while (high > f[k] - 1) {k++;}// 因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组 temp[]，不足的部分会使用0填充int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);// 实际上需求使用a数组最后的数填充 temp// 例如：temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {temp[i] = a[high];}// 使用while来循环处理，找到的数 keywhile (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找mid = low + f[k - 1] - 1;if (key < temp[mid]) { // 向 mid 左边找high = mid - 1;/***   k-- 说明*   1 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素*   2 f[k] = f[k-1] + f[k-2]*   3 因为前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]*   4 本轮查询是在 f[k]-1 个数中进行，下次查询是在f[k-1]-1 个数中进行，所以是 k-1*/k--;} else if (key > temp[mid]) { // 向 mid 右边找low = mid + 1;/***    k -= 2 说明*    1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素*    2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]*    3. 因为后面有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-2] = f[k-3] + f[k-4]*    4 轮查询是在 f[k]-1 个数中进行，下次查询是在f[k-2]-1 个数中进行，所以是 k-2*/k -= 2;} else { // 找到// 需要确定，返回的是哪个下标，这里返回较小者if (mid <= high) {return mid;} else {return high;}}}// 没找到return -1;}
}

3 测试

index=3