【几何学笔记】共形映射

2023-10-07 12:50
文章标签 笔记 映射 共形 几何学

本文主要是介绍【几何学笔记】共形映射,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

复分析研究的是复数域之间的映射,在几何上相当于平面到平面的映射。

如果复数域上的映射f:D\rightarrow C在点z\in D处,无论从哪个方向求导,其结果f'(x)都相等,即满足柯西黎曼条件,则说fz点处全纯/解析。

由于fz点处全纯,则过z点的两条曲线在f下的像对z的导数f'(z)都相等,与两条曲线本身的选择无关,如果f'(z)\neq 0,则称f在该点是共形的。

由于f(z + \Delta z) - f(z) = f'(z)\Delta z,所以两条曲线在z点的弧伸缩是相同的,都是\left | f'(z) \right |,此谓共形映射f的圆性质。

对上式取对数可以获得其角关系:arg(f(z + \Delta z) - f(z)) =arg(f'(z)) + arg(\Delta z)。所以映射像的角度与原像的角度是一个固定的差值。

arg(f(z + \Delta z_{0}) - f(z)) - arg(f(z + \Delta z_{1}) - f(z)) =arg(\Delta z_{0}) - arg(\Delta z_{1}),原像中两条曲线的角度与映射后两条曲线的角度差相同,此谓共形映射的保角性质。

如果f在某个非临界点z将图形变成相似形但改变了定向,则f称该映射在该点的第二类共形映射或者反共形映射。

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